Soit un carré ABCD de côté de longueur a. On considère les points G et H tels que :
\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}
Quelle est l'expression de \overrightarrow{DG}.\overrightarrow{DH} en fonction de a ?
D'après la relation de Chasles, on sait que :
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = \left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CH}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{CH}
Or, ABCD est un carré :
- Les vecteurs \overrightarrow{DA} et \overrightarrow{DC} sont orthogonaux, donc \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC} = 0.
- Les vecteurs \overrightarrow{AG} et \overrightarrow{CH} sont orthogonaux, donc \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{CH} = 0.
D'où \overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} =\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{CH}.
Calcul intermédiaire de \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DC}
Les vecteurs \overrightarrow{AG} et \overrightarrow{DC} sont colinéaires et de même sens. Leur produit scalaire est donc égal à :
\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DC} = AG \times DC = \dfrac {3}{4}a \times a = \dfrac{3}{4}a^2
Calcul intermédiaire de \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{CH}
Les vecteurs \overrightarrow{DA} et \overrightarrow{CH} sont colinéaires et de même sens. Leur produit scalaire est donc égal à :
\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{CH} = DA\times CH=a\times \dfrac {1}{3}a = \dfrac{1}{3}a^2
On obtient enfin :
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = \dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{1}{3}a^2
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = \dfrac{13}{12}a^2
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{HDG} ?
On vient de montrer que :
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = \dfrac{13}{12}a^2
Or, d'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH} = DG \times DH \times \cos \left(\widehat{HDG}\right)
Donc \cos \left(\widehat{HDG}\right) = \dfrac{ \overrightarrow{DG}\cdot\overrightarrow{DH}}{DG \times DH}
Afin de déterminer l'angle \widehat{HDG}, il faut calculer les longueurs DG et DH à l'aide du théorème de Pythagore.
Calcul de DG
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AGD rectangle en A, on obtient :
DG^2 = AD^2+AG^2
\Leftrightarrow DG^2 = a^2+\left(\dfrac{3}{4}a\right)^2
\Leftrightarrow DG^2 = a^2+\dfrac{9}{16}a^2
\Leftrightarrow DG^2 = \dfrac{25}{16}a^2
DG étant une longueur, on en déduit que DG = \dfrac{5}{4} a.
Calcul de DH
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AGB rectangle en A, on obtient :
DH^2 = DC^2+CH^2
\Leftrightarrow DH^2 = a^2+\left(\dfrac{1}{3}a\right)^2
\Leftrightarrow DH^2 = a^2+\dfrac{1}{9}a^2
\Leftrightarrow DH^2 = \dfrac{10}{9}a^2
DG étant une longueur, on en déduit que DH= \dfrac{\sqrt{10}}{3} a.
Finalement, on en déduit que :
\cos \left(\widehat{HDG}\right) = \dfrac{\dfrac{13}{12}a^2}{\dfrac{5}{4}a\times \dfrac{\sqrt{10}}{3}a}
\Leftrightarrow \cos \left(\widehat{HDG}\right) = \dfrac{13}{5\sqrt{10}}
D'où \widehat{HDG} =\cos^{-1}\left( \dfrac{13}{5\sqrt{10}}\right) \approx 34{,}70°
L'angle \widehat{HDG} mesure environ 34{,}70°.