On considère le cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 3 ; 4 \right) et B\left(2 ; 5\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C ?
On considère le cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 3 ; 6 \right) et B\left(4;9\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C ?
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -2;2\right) et B\left(4;4\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x +2 \cr\cr y - 2\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-4\cr\cr y-4\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(x-4\right) + \left(y-2\right)\left(y-4\right) = 0
\Leftrightarrow x^2+2x-4x-8+y^2 -2y-4y+8 = 0
\Leftrightarrow x^2-2x+y^2 -6y= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-2x+y^2 -6y= 0
\Leftrightarrow \left(x-1\right)^2-1+\left(y-3\right)^2-9= 0
\Leftrightarrow \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2= 10
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2= 10.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 0;9\right) et B\left(4;0\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x \cr\cr y -9\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-4\cr\cr y\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow x\left(x-4\right) + \left(y-9\right)y = 0
\Leftrightarrow x^2-4x+y^2-9y= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-4x+y^2-9y= 0
\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2-4+\left(y-\dfrac{9}{2}\right)^2-\dfrac{81}{4}= 0
\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2+\left(y-\dfrac{9}{2}\right)^2= \dfrac{97}{4}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-2\right)^2+\left(y-\dfrac{9}{2}\right)^2= \dfrac{97}{4}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 5;4\right) et B\left(-2;3\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x -5 \cr\cr y - 4\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x+2\cr\cr y-3\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x-5\right)\left(x+2\right) + \left(y-4\right)\left(y-3\right) = 0
\Leftrightarrow x^2-5x+2x-10+y^2-4y-3y+12 = 0
\Leftrightarrow x^2-3x+y^2-7y+2 = 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-3x+y^2-7y+2 = 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}+2= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^2= \dfrac{25}{2}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{7}{2}\right)^2= \dfrac{25}{2}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 6;5 \right) et B\left(8;9\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x - 6 \cr\cr y - 5\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-8\cr\cr y-9 \end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x-6\right)\left(x-8\right) + \left(y-5\right)\left(y-9\right) = 0
\Leftrightarrow x^2-6x-8x+48 +y^2 -5y -9y +45 = 0
\Leftrightarrow x^2-14x+y^2 -14y +93= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-14x+y^2 -14y +93= 0
\Leftrightarrow \left(x-7\right)^2-49+\left(y-7\right)^2-49+93 = 0
\Leftrightarrow \left(x-7\right)^2+\left(y-7\right)^2 = 5
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-7\right)^2+\left(y-7\right)^2 = 5.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 1 ; 2 \right) et B\left(-4 ; 1\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x - 1 \cr\cr y - 2\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x+4\cr\cr y-1 \end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x+4\right) + \left(y-2\right)\left(y-1\right) = 0
\Leftrightarrow x^2+4x-x-4 +y^2 -y -2y +2 = 0
\Leftrightarrow x^2+3x+y^2 -3y -2 = 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2+3x+y^2 -3y -2 = 0
\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4} +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 -\dfrac{9}{4} -2 = 0
\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 =\dfrac{26}{4}
\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{13}{2}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 =\dfrac{13}{2} .