Dans les cas suivants, calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 8, AC = 6 et BC = 10 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 8^2+6^2 - 10^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 64+36-100\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 7, AC = 8 et BC = 2 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 7^2+8^2 - 2^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 49+64-4\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{109}{2}
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 5, AC = 4 et BC = 6 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 5^2+4^2 - 6^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 25+16-36\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{5}{2}
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 6, AC = 4 et BC = 4 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 6^2+4^2 - 4^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 36+16-16\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 18
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 5, AC = 5 et BC = 5 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 5^2+5^2 - 5^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 25+25-25\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{25}{2}
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 10, AC = 8 et BC = 12 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 10^2+8^2 - 12^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 100+64-144\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 10
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 6, AC = 4 et BC = 3 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 4^2+6^2 - 3^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 16+36-9\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{43}{2}