On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right).
Le produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Produit scalaire
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls. On appelle produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, le réel :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)
Soient les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} tels que \|\overrightarrow{u}\| = 2, \|\overrightarrow{v}\| = 3 et \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{\pi }{3}.
On a :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \dfrac12
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3
Si A, B et C sont trois points distincts, alors :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)
Soit ABC un triangle tel que AB = 2, AC=3 et \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}.
On a :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \dfrac12
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3
Le produit scalaire \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} a le même signe que \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).
Si au moins l'un des vecteurs est nul, alors on pose :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0
On a, pour tout vecteur \overrightarrow{u} :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^{2}
Soient deux points A et B tels que AB=12. On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2=AB^2=12^2=144
Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs quelconques du plan. Soit k un réel. On a alors :
Commutativité :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}
Distributivité :
\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}
Multiplication par un réel k :
k\left(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right)=\left(k \overrightarrow{u}\right) \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot \left(k\overrightarrow{v}\right)
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Le produit scalaire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} de deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} colinéaires est égal à :
- AB\times AC si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont de même sens.
- -AB\times AC si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont de sens contraire.
L'expression avec le projeté orthogonal
Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH
ABCD et FEAG sont des rectangles avec E\in\left[AB\right], CD = 5, AD = 3, FG = 2 et AG = 5. On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}.
D est le projeté orthogonal de C sur \left(AD\right).
Donc :
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=AD\times AD=3\times3=9
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH
ABCD et FEAG sont des rectangles avec E\in\left[AB\right], CD = 5, AD = 3, FG = 2 et AG = 5. On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}.
G est le projeté orthogonal de F sur (AD) et G\notin\left[AD \right).
Donc :
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}=-AD\times AG=-3\times5=-15
L'expression analytique
Expression analytique
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'
On considère les vecteurs \overrightarrow{AB}\binom{5}{-1} et \overrightarrow{AC}\binom{7}{-8}.
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times7+\left(-1\right)\times\left(-8\right)=35+8=43
L'expression avec les normes
Expressions du produit scalaire avec les normes
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. Les deux expressions suivantes permettent de calculer le produit scalaire \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)
On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} à l'aide de la figure suivante :
ABCD est un parallélogramme.
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( AD^2+AB^2-\left\| \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right\|^2 \right)
Ainsi :
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( 8^2+4^2-\left\| \overrightarrow{BD} \right\| ^2\right)=\dfrac12\times\left( 80-7^2 \right)=\dfrac{31}{2}
On cherche à calculer \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} à l'aide de la figure suivante :
ABCD est un parallélogramme.
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} \right\|^2 -AD^2-AB^2\right)
Ainsi :
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} =\dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2-8^2-4^2\right)=\dfrac12\times\left( 11^2-64-16 \right)=\dfrac{41}{2}
Vecteurs orthogonaux
La caractérisation analytique
Vecteurs orthogonaux
Dans un repère orthonormal, deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} sont orthogonaux si et seulement si :
xx' + yy' = 0
On cherche à déterminer l'orthogonalité des vecteurs \overrightarrow{AB}\binom{4}{-3} et \overrightarrow{AC}\binom{12}{16}.
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times12+\left(-3\right)\times\left(16\right)=48-48=0
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc orthogonaux.
Vecteur normal à une droite
Vecteur normal
Soient une droite D et un vecteur non nul \overrightarrow{n} du plan.
Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à la droite D si et seulement s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.
Vecteur normal
Soit une droite D d'équation cartésienne ax + by + c = 0. Un vecteur normal à D est le vecteur :
\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \end{pmatrix}
Une droite dont une équation cartésienne est 5x-2y+7=0 a pour vecteur normal \overrightarrow{u}\binom{5}{-2}.
Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A\left(2;1\right) et dont un vecteur normal est \overrightarrow{u}\binom{-1}{4}.
Comme \overrightarrow{u}\binom{-1}{4} est normal à (d), (d) a une équation de la forme :
-x+4y+c=0
Or A\in \left(d\right), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (d). On obtient :
-x_A+4y_A+c=0
D'où :
-2+4\times1+c=0
Ainsi :
c=-2
Une équation de (d) est donc :
-x+4y-2=0
Équation de cercles
Equation de cercle
Le cercle de centre K de rayon R admet pour équation :
\left(x - x_{K}\right)^{2} + \left(y - y_{K}\right)^{2} = R^{2}
Le cercle de centre K\left(-2;5\right) et de rayon 3 a pour équation :
\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=9
Soit K\left(x_K;y_K\right) un point du plan.
Un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si KM=R.
Comme KM et R sont des distances, et donc sont positives :
KM=R\Leftrightarrow KM^2=R^2
Or :
KM^2=\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2
Donc un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de centre K et de rayon R si et seulement si :
\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2=R^2.
Caractérisation d'un cercle
Soient A et B deux points distincts. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si :
\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0
Applications
Théorème de la médiane
Théorème de la médiane
Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a :
MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
On cherche à calculer BI.
D'après le théorème de la médiane on a :
BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}.
Donc :
BI^2=\dfrac12\times\left( BA^2+BC^2-\dfrac{AC^2}{2} \right)
On calcule :
BI^2=\dfrac12\times\left( 5^2+6^2-\dfrac{10^2}{2} \right)=\dfrac{11}{2}
Soit, comme une longueur est toujours positive :
BI=\sqrt{\dfrac{11}{2}}=\dfrac{\sqrt{22}}{2}
Théorème d'Al-Kashi
Théorème d'Al-Kashi
Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}
b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}
On cherche à calculer BC. D'après le théorème d'al-Kashi, on a :
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}
Soit :
a^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=25+9-30\times\dfrac{1}{2}=34-15=19
D'où :
a=\sqrt{19}
Formule des aires
Soit ABC un triangle non aplati d'aire \Gamma. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :
\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{1}{2}acsin\left(\widehat{B}\right)=\dfrac{1}{2}absin\left(\widehat{C}\right)
On considère le triangle suivant :
L'aire du triangle ABC est :
\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)
\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\Gamma=\dfrac{15\sqrt{3}}{4} (unités d'aire)
Formule des sinus
Soit ABC un triangle non aplati. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :
\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\widehat{C}\right)}
On considère le triangle suivant, dans lequel on cherche à déterminer la valeur de a :
D'après la formule des sinus, on a :
\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}
Soit :
a=\dfrac{b\times \sin\left(\widehat{A}\right)}{\sin\left(\widehat{B}\right)}
a=\dfrac{5\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}
a=\dfrac{5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}
a=5\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
a=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}