On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
Or, les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = 0+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = BC \times BE \times \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BE}\right)
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{3}.
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = a \times a \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
Finalement :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} =\dfrac{a^2}{2}
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}
Soit :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = a^2+ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 + AB\times BE\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)
Or, d'après la relation de Chasles appliquée aux angles, on a :
\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right)=\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right)+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{3}.
ABCD étant un carré, on a, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux.
Ainsi, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right) est :
\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 + a^2 \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
Donc, on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 +a^2 \times \dfrac{\sqrt3}{2}
Finalement :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 \left(1+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}
Soit :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} = a^2+ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 + AB\times BE\times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)
Or, d'après la relation de Chasles appliquée aux angles, on a :
\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right)=\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right)+2k\pi
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{3}
ABCD est un carré, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right) et de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}\right) est \dfrac{\pi}{2}
Ainsi, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3} soit \dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6} soit \dfrac{5\pi}{6}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 + a^2 \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
Or, on a :
\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
Et donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 - a^2 \times \dfrac{\sqrt3}{2}
Finalement :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE} =a^2 \left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{BE}
On en déduit que :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =BA \times BE \times \cos \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BE}\right) + AD\times BE\times \cos\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE}\right)
Or, d'après la relation de Chasles appliquée aux angles, on a :
\left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BE}\right)=\left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{3}
ABCD étant un carré, les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux. Une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right) est ainsi -\dfrac{\pi}{2}
Donc une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} soit -\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6} soit -\dfrac{5\pi}{6}
D'autre part, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{BE}\right) et de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{3}
Ainsi :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) + a^2\times \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)
Or, on a :
- \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)= \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
- \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}+\pi\right)=- \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
Donc, on a :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) + a^2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)
Finalement :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}\right)
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{BE}
On en déduit que :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =BA \times BE \times \cos \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BE}\right) + AD\times BE\times \cos\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BE}\right)
Or, d'après la relation de Chasles appliquée aux angles, on a :
\left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BE}\right)=\left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{3}.
ABCD étant un carré, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right) est -\dfrac{\pi}{2}.
Donc, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3} soit -\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6} soit -\dfrac{\pi}{6}.
De plus, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{BE}\right) et de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{3}
Ainsi :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + a^2\times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right) + a^2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)
Finalement :
\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BE} =a^2\times \left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}\right)
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} =\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
Or on sait que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux et que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Donc :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = a^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BE}+ 0+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = a^2+AB \times BE \times \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)+BC \times BE \times \cos \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BE}\right)
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{3}
Et, d'après la relation de Chasles appliquée aux angles, on a :
\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right)=\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
ABCD étant un carré, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right) et de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}\right) est \dfrac{\pi}{2}
Ainsi, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BE}\right) est \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} soit \dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6} soit \dfrac{\pi}{6}
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = a^2+a^2 \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+a^2 \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = a^2+a^2 \times\dfrac{\sqrt3}{2}+a^2 \times\dfrac{1}{2}
Finalement :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = a^2\times\left(\dfrac{3+\sqrt3}{2}\right)
On considère la figure ci-après composée du carré ABCD de côté a et du triangle équilatéral BCE de côté a.
Quelle est la valeur de \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}\right)
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
Or, les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = 0+ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BE}
D'où :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = BC \times BE \times \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BE}\right)
Le triangle BCE étant équilatéral, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BE}\right) est -\dfrac{\pi}{3}.
On en déduit que :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} = a \times a \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)
Finalement :
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AE} =\dfrac{a^2}{2}