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Dernière modification : 12/08/2020 - Conforme au programme 2026-2027
Lorsque, dans un triangle quelconque, on connaît les longueurs a et b de deux côtés ainsi que l'angle adjacent à ces deux côtés, on peut calculer la longueur c du troisième côté en utilisant le théorème d'Al-Kashi.
On considère le triangle ABC suivant tel que b = 2, c=4 et \widehat{A}= \dfrac{\pi}{4}.
Calculer la longueur du côté a.
D'après le cours, pour tout triangle avec les notations ci-dessous, on sait que :
On énonce la formule nécessaire.
D'après le cours, on sait que :
a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}
On identifie les mesures des deux côtés ainsi que de l'angle qui sont connus.
Trois cas sont possibles :
Ici, on a :
On remplace les mesures des deux côtés et de l'angle connus dans la formule afin de trouver la valeur de la troisième mesure.
On en déduit que :
a^2 = 2^2+4^2-2\times 2 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
a^2 =4+16-16\times \dfrac{\sqrt2}{2}
Soit :
a^2 =20-8\times \sqrt2
a =\sqrt{20-8\times \sqrt2}
Finalement :
a \approx 2{,}95
Quand on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux, on utilise le théorème d'Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc × cos(Â). Exemple : avec b = 2, c = 4 et  = π/4, on trouve a² = 20 − 8√2, soit a ≈ 2,95.
Le théorème d'Al-Kashi est : a² = b² + c² − 2bc × cos(Â), et de même b² = a² + c² − 2ac × cos(B̂) et c² = a² + b² − 2ab × cos(Ĉ).
On l'utilise dans un triangle quelconque quand on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle compris entre ces deux côtés, pour calculer la longueur du troisième côté.