Lorsque, dans un triangle quelconque, on connaît les longueurs a et b de deux côtés ainsi que l'angle adjacent à ces deux côtés, on peut calculer la longueur c du troisième côté en utilisant le théorème d'Al-Kashi.
On considère le triangle ABC suivant tel que b = 2, c=4 et \widehat{A}= \dfrac{\pi}{4}.
Calculer la longueur du côté a.
Énoncer la formule d'Al-Kashi
D'après le cours, pour tout triangle avec les notations ci-dessous, on sait que :
- a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}
- b^2 = a^2+c^2-2ac \times cos\widehat{B}
- c^2 = a^2+b^2-2ab \times cos\widehat{C}
On énonce la formule nécessaire.
D'après le cours, on sait que :
a^2 = b^2+c^2-2bc \times cos\widehat{A}
Repérer les mesures nécessaires
On identifie les mesures des deux côtés ainsi que de l'angle qui sont connus.
Trois cas sont possibles :
- L'énoncé donne les mesures de a, b et \widehat{C} et on cherche c.
- L'énoncé donne les mesures de a, c et \widehat{B} et on cherche b.
- L'énoncé donne les mesures de b, c et \widehat{A} et on cherche a.
Ici, on a :
- b=2
- c=4
- \widehat{A} = \dfrac{\pi}{4}
Appliquer la formule
On remplace les mesures des deux côtés et de l'angle connus dans la formule afin de trouver la valeur de la troisième mesure.
On en déduit que :
a^2 = 2^2+4^2-2\times 2 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
a^2 =4+16-16\times \dfrac{\sqrt2}{2}
Soit :
a^2 =20-8\times \sqrt2
a =\sqrt{20-8\times \sqrt2}
Finalement :
a \approx 2{,}95