Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal Exercice

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-0 \cr\cr 6-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr3 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1-0\cr\cr 2-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 3\times 1 + 3 \times \left(-1\right)= 3-3=0

• \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 1-0 \cr\cr 4-2 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -2-1 \cr\cr 3-4 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA} = 1\times \left(-3\right)+ \left(2\right) \times\left( -1\right) = -3-2 = -5

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-\left(-1\right) \cr\cr 3-1 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -3-\left(-1\right) \cr\cr 1-1 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 3\times \left(-2\right) + 2 \times 0= -6

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2-\left(-1\right) \cr\cr 3-1 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3- 2\cr\cr 1-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -5 \cr\cr -2 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -5 \cr\cr -2\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 3\times \left(-5\right) + 2 \times \left(-2\right)= -19

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-0 \cr\cr 6-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr3 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 1-3\cr\cr 2-6 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr -4 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr -4\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 3\times \left(-2\right) + 3 \times \left(-4\right)= -6 -12=-18

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1-9 \cr\cr -4-7 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -8 \cr\cr -11\end{pmatrix}
• \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 8-9\cr\cr 2-7 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr -5 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -8 \cr\cr -11\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr -5\end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -8\times \left(-1\right) -11 \times \left(-5\right)= 8+55=63

• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1-\left(-2\right) \cr\cr 4-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 0-\left(-2\right) \cr\cr 2-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.

Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

On en déduit que :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 3\times 2 + 1 \times\left( -1\right) = 6-1 = 5