La seconde loi de Newton est la loi la plus importante de la mécanique classique. Lorsqu'un système est soumis à des actions mécaniques extérieures, l'application de la seconde loi de Newton permet de prévoir le mouvement de ce système au cours du temps.
Un mobile de masse m descend le long d'une pente inclinée d'angle \alpha selon le schéma suivant :
Avec :
- \overrightarrow{R} la réaction normale du support
- \overrightarrow{P} le poids
- \overrightarrow{f} les forces de frottement
À l'aide de la seconde loi de Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)}.
Définir le système étudié
On définit le système mécanique que l'on étudie.
Le système mécanique étudié est le mobile de masse m.
Définir le référentiel d'étude, supposé galiléen, dans lequel on se place
On rappelle le référentiel d'étude choisi pour étudier le mouvement du système (référentiel attaché au laboratoire, référentiel terrestre, référentiel géocentrique ou référentiel héliocentrique). On précise que le référentiel est supposé galiléen.
Le référentiel d'étude choisi pour étudier le mouvement de ce mobile est le référentiel attaché au laboratoire, supposé galiléen, dont les axes sont \left(O,x,y\right).
Faire le bilan des forces
On effectue le bilan des forces extérieures qui agissent sur le système.
Les forces extérieures qui agissent sur le mobile sont :
- Le poids \overrightarrow{P}
- La réaction normale du support \overrightarrow{R}
- Les forces de frottements \overrightarrow{f}
Rappeler la deuxième loi de Newton
On rappelle la deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système :
m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} = \sum_{i}^{} \overrightarrow{F_i}
D'après la seconde loi de Newton, dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système :
m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} = \sum_{i}^{} \overrightarrow{F_i}
Appliquer la deuxième loi de Newton au système étudié
On applique la deuxième loi de Newton au système étudié.
La deuxième loi de Newton appliquée au mobile permet d'écrire :
m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} = \sum_{i}^{} \overrightarrow{F_i} = \overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{f}
Soit :
m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{f}
Conclure en exprimant les composantes du vecteur accélération
On conclut en exprimant le vecteur accélération à partir de la deuxième loi de Newton.
Pour exprimer la seconde loi de Newton, on projette les forces sur le repère \left(0,x,y\right) :
- \overrightarrow{P}\begin{pmatrix} P\sin\left(\alpha\right) \cr\cr -P\cos\left(\alpha\right) \end{pmatrix} soit \overrightarrow{P}\begin{pmatrix} mg\sin\left(\alpha\right) \cr\cr -mg\cos\left(\alpha\right) \end{pmatrix}
- \overrightarrow{R}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr R \end{pmatrix}
- \overrightarrow{f}\begin{pmatrix} -f \cr\cr 0 \end{pmatrix}
On obtient ainsi les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} en divisant le bilan des forces projetées sur les axes \left(O,x,y\right) par la masse m :
\overrightarrow{a_M\left(t\right)}\begin{pmatrix} a_x\left(t\right)=g\sin\left(\alpha\right)-\dfrac{f}{m} \cr\cr a_y\left(t\right)=-g\cos\left(\alpha\right)+\dfrac{R}{m} \end{pmatrix}