Les composantes des vecteurs vitesse et position se déduisent des composantes du vecteur accélération par intégrations successives.
Relever les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)}
On relève les composantes \left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)}.
La pomme ne subit que l'accélération de pesanteur \overrightarrow{g} dirigée selon \left(Oz\right), on obtient les coordonnées de \overrightarrow{a_M\left(t\right)} :
- a_x\left(t\right)=0
- a_y\left(t\right)=0
- a_z\left(t\right)=-g
Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par intégration
On détermine les composantes \left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} en intégrant les composantes du vecteur accélération par rapport au temps.
Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} :
- v_x\left(t\right)=v_{0x}
- v_y\left(t\right)=v_{0y}
- v_z\left(t\right)=-gt+v_{0z}
La pomme n'ayant pas de vitesse initiale, on sait que :
v_{0x}=v_{0y}=v_{0z}=0
Ainsi :
- v_x\left(t\right)=0
- v_y\left(t\right)=0
- v_z\left(t\right)=-gt
Déterminer les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}
On détermine les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} en intégrant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.
Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} à partir de \overrightarrow{V_M\left(t\right)} :
- x\left(t\right)=x_{0}
- y\left(t\right)=y_{0}
- z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+z_{0}
À l'instant initial, la pomme était en \left(0{,}0,h\right). Les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} sont donc :
- x\left(t\right)=0
- y\left(t\right)=0
- z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+h