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  4. Méthode : Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et position à partir de l'accélération

Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et position à partir de l'accélération Méthode

Sommaire

1Relever les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} 2Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par intégration 3Déterminer les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}

Les composantes des vecteurs vitesse et position se déduisent des composantes du vecteur accélération par intégrations successives.

Une pomme tombe d'un arbre sans vitesse initiale en subissant l'accélération de pesanteur \overrightarrow{g}. Déterminer les composantes de \overrightarrow{a_M\left(t\right)}, \overrightarrow{v_M\left(t\right)} et \overrightarrow{OM\left(t\right)} pour chaque instant t.

-
Etape 1

Relever les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)}

On relève les composantes \left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)}.

La pomme ne subit que l'accélération de pesanteur \overrightarrow{g} dirigée selon \left(Oz\right), on obtient les coordonnées de \overrightarrow{a_M\left(t\right)} :

  • a_x\left(t\right)=0
  • a_y\left(t\right)=0
  • a_z\left(t\right)=-g
Etape 2

Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par intégration

On détermine les composantes \left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} en intégrant les composantes du vecteur accélération par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} :

  • v_x\left(t\right)=v_{0x}
  • v_y\left(t\right)=v_{0y}
  • v_z\left(t\right)=-gt+v_{0z}

La pomme n'ayant pas de vitesse initiale, on sait que :

v_{0x}=v_{0y}=v_{0z}=0

Ainsi :

  • v_x\left(t\right)=0
  • v_y\left(t\right)=0
  • v_z\left(t\right)=-gt
Etape 3

Déterminer les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}

On détermine les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} en intégrant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} à partir de \overrightarrow{V_M\left(t\right)} :

  • x\left(t\right)=x_{0}
  • y\left(t\right)=y_{0}
  • z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+z_{0}

À l'instant initial, la pomme était en \left(0{,}0,h\right). Les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} sont donc :

  • x\left(t\right)=0
  • y\left(t\right)=0
  • z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+h
Voir aussi
  • Cours : La cinématique et la dynamique Newtonienne
  • Formulaire : La cinématique et la dynamique Newtonienne
  • Quiz : La cinématique et la dynamique Newtonienne
  • Méthode : Faire un bilan des forces
  • Méthode : Appliquer le principe d'inertie pour déterminer la nature d'un mouvement
  • Méthode : Appliquer la réciproque d'un principe d'inertie pour conclure sur un bilan des forces
  • Méthode : Représenter le vecteur quantité de mouvement
  • Méthode : Manipuler la relation de la quantité de mouvement
  • Méthode : Appliquer le principe de la conservation de la quantité de mouvement.
  • Méthode : Reconnaître la nature d'un mouvement à partir d'un graphique
  • Méthode : Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération à partir de la position
  • Méthode : Appliquer la seconde loi de Newton
  • Méthode : Déterminer l'équation de la trajectoire d'un système
  • Méthode : Appliquer la troisième loi de Newton
  • Exercice : Faire un bilan des forces
  • Exercice : Appliquer le principe d'inertie pour déterminer la nature d'un mouvement
  • Exercice : Appliquer la réciproque d'un principe d'inertie pour conclure sur un bilan des forces
  • Exercice : Calculer la norme d'un vecteur vitesse
  • Exercice : Calculer une quantité de mouvement
  • Exercice : Calculer une vitesse ou une masse à partir d'une quantité de mouvement
  • Exercice : Appliquer le principe de la conservation de la quantité de mouvement
  • Exercice : Calculer un vecteur accélération
  • Exercice : Différencier un mouvement rectiligne uniforme d'un mouvement rectiligne uniformément varié
  • Exercice : Reconnaître la nature d'un mouvement à partir d'un graphique
  • Exercice : Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération à partir de la position
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