Déterminer le premier terme et la raison d'une suite géométrique Exercice

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_2=3 \cr \cr u_5=24 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr 24=u_0 \times q^5 \end{cases}

Or on sait que q^5=q^2\times q^3, on obtient donc :

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr 24=u_0 \times q^3 \times q^2 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr 24=3\times q^3\end{cases}

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr q^3=\dfrac{24}{3}\end{cases}

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr q^3=8\end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est positive, on obtient donc :

\begin{cases} 3=u_0\times q^2 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} 3=u_0\times 2^2 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} 3=4u_0 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} u_0=\dfrac{3}{4} \cr \cr q =2 \end{cases}

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_7=4 \cr \cr u_9=16 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 4=u_0\times q^7 \cr \cr 16=u_0 \times q^9 \end{cases}

Or on sait que q^9=q^7\times q^2, on obtient donc :

\begin{cases} 4=u_0\times q^7 \cr \cr 16=u_0 \times q^7 \times q^2 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 4=u_0\times q^7 \cr \cr 16=4 \times q^2 \end{cases}

\begin{cases} 4=u_0\times q^7 \cr \cr q^2 =\dfrac{16}{4} =4\end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est négative, on obtient donc :

\begin{cases} 4=u_0\times q^7 \cr \cr q =-2 \end{cases}

\begin{cases} 4=u_0\times \left(-2\right)^7 \cr \cr q =-2 \end{cases}

\begin{cases} u_0=-\dfrac{4}{128}=-\dfrac{1}{32} \cr \cr q =-2 \end{cases}

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_5=1 \cr \cr u_8=27 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 1=u_0\times q^5 \cr \cr 27=u_0 \times q^8 \end{cases}

Or on sait que q^8=q^5\times q^3, on obtient donc :

\begin{cases} 1=u_0\times q^5 \cr \cr 27=u_0 \times q^5 \times q^3 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 1=u_0\times q^5 \cr \cr 27=1\times q^3 \end{cases}

\begin{cases} 1=u_0\times q^5 \cr \cr q^3 =\dfrac{27}{1} =27\end{cases}

\begin{cases} 1=u_0\times q^5 \cr \cr q =3 \end{cases}

\begin{cases} 1=u_0\times 3^5 \cr \cr q =3 \end{cases}

\begin{cases} u_0= \dfrac{1}{3^5} \cr \cr q =3 \end{cases}

\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{243} \cr \cr q =3 \end{cases}

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_2=18 \cr \cr u_4=6 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 18=u_0\times q^2 \cr \cr 6=u_0 \times q^4 \end{cases}

Or on sait que q^4=q^2\times q^2, on obtient donc :

\begin{cases} 18=u_0\times q^2 \cr \cr 6=u_0 \times q^2 \times q^2 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 18=u_0\times q^2 \cr \cr 6=18 \times q^2 \end{cases}

\begin{cases} 18=u_0\times q^2 \cr \cr q^2 =\dfrac{6}{18} =\dfrac{1}{3} \end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est négative, on obtient donc :

\begin{cases} 18=u_0\times q^2 \cr \cr q =-\dfrac{1}{\sqrt3} \end{cases}

\begin{cases} 18=u_0\times \left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2 \cr \cr q =-\dfrac{1}{\sqrt3} \end{cases}

\begin{cases} u_0= \dfrac{18}{\left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2} \cr \cr q =-\dfrac{1}{\sqrt3} \end{cases}

\begin{cases} u_0=54 \cr \cr q =-\dfrac{1}{\sqrt3} \end{cases}

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_4=6 \cr \cr u_6=24 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 6=u_0\times q^4 \cr \cr 24=u_0 \times q^6 \end{cases}

Or on sait que q^6=q^4\times q^2, on obtient donc :

\begin{cases} 6=u_0\times q^4 \cr \cr 24=u_0 \times q^4 \times q^2 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 6=u_0\times q^4 \cr \cr 24=6\times q^2 \end{cases}

\begin{cases} 6=u_0\times q^4 \cr \cr q^2=\dfrac{24}{6}=4 \end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est positive, on obtient donc :

\begin{cases} 6=u_0\times q^4 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} 6=u_0\times 2^4 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} 6=16u_0 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} u_0=\dfrac{3}{8} \cr \cr q =2 \end{cases}