Etude globale d'une suite
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.
- Pour désigner la suite u , on peut écrire \left(u_{n}\right) .
- L'écriture u_{n} désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u\left(n\right).
- Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un rang n_0. Dans ce cas, on écrit \left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_0} pour désigner la suite u.
Modes de génération d'une suite
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie directement par son terme général :
u_{n} = f\left(n\right)
où f est une fonction au moins définie sur \mathbb{N}
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} et un réel a, une suite \left(u_{n}\right) peut être définie par récurrence par :
- u_{0} = a
- pour tout entier n : u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)
3. Définition implicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie par une propriété géométrique, économique... au sein d'un problème.
Quel que soit le mode de définition d'une suite, il se peut que celle-ci ne soit définie qu'à partir d'un rang n_0.
Le sens de variation
Suite croissante
La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \geq u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :
- u_0=12
- u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n pour tout entier n
On a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2.
Or :
\left(u_n \right)^2\geq0
Donc, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n\geq0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}\geq u_n
Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.
Suite strictement croissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \gt u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :
- u_0=4
- u_{n+1}=u_n+1 pour tout entier n
On a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=1.
Or :
1 \gt 0
Donc, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n \gt 0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} \gt u_n
Donc la suite \left(u_n \right) est strictement croissante.
Suite décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \leq u_{n}
Considérons la suite définie pour tout entier n non nul par :
u_n=\dfrac1n
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}
Or, pour tout entier naturel n non nul, on a :
\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\lt0
Donc, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n\leq0
Et ainsi, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}\leq u_n
Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.
Suite strictement décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \lt u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie par récurrence par :
- u_0=4
- u_{n+1}=u_n-1 pour tout entier n
On a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=-1.
Or :
-1 \lt 0
Donc, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}-u_n \lt 0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} \lt u_n
Donc la suite \left(u_n \right) est strictement décroissante.
Suite constante
La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} = u_{n}
Suite monotone
La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).
Représentation graphique
Représentation graphique d'une suite
Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées \left(n;u_n\right) où n décrit les entiers naturels pour lesquels u_n est défini.
On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u_n=n^2-1. Les premiers termes de la suite sont donnés dans le tableau suivant :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| u_n | -1 | 0 | 3 | 8 | 15 |
On obtient la représentation graphique des premiers points de la suite :
Les suites particulières
Les suites arithmétiques
Suites arithmétiques
Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n où elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} + r
On considère la suite définie par :
- u_0 = 1
- u_{n+1} = u_{n} - 2 , pour tout entier n
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant -2.
Cette suite est ainsi arithmétique.
Raison
Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison -2.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r.
- Si r\gt0, la suite est strictement croissante.
- Si r\lt0, la suite est strictement décroissante.
- Si r=0, la suite est constante.
Terme général d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :
u_{n} = u_{0} + nr
On considère la suite arithmétique u de raison r=-2 et de premier terme u_5=3.
On a alors, pour tout entier naturel n\geq 5 : u_n=3-2(n-5)=13-2n
Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique.
La somme de termes consécutifs de cette suite est égale au produit de la demi-somme du premier et du dernier terme par le nombre de termes. En particulier :
u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} =\dfrac{\left(n + 1\right) \left(u_{0} + u_{n}\right)}{2}
Soit \left( u_n \right) une suite arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=16.
Son terme général est donc u_n=16+8n.
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}
D'après la formule, on a :
S=\dfrac{\left(25+1\right)\left(u_0+u_{25}\right)}{2}
Soit :
S=\dfrac{26\times\left(16+16+8\times25\right)}{2}=3\ 016
1 + 2 + 3 +... + n =\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}
1+2+3+\cdot\cdot\cdot+15=\dfrac{15\times\left(15+1\right)}{2}=120
Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.
On considère la suite arithmétique de premier terme u_0=3 et de raison r=-1. On constate sur sa représentation graphique que les points sont alignés.
Si u est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y=rx+u_0.
Les suites géométriques
Suite géométrique
Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n où elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} \times q
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = 3u_{n}
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est ainsi géométrique.
Raison
Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.
Soit q un réel strictement positif.
- Si q\gt1, la suite \left(q^n\right) est strictement croissante.
- Si 0\lt q\lt1, la suite \left(q^n\right) est strictement décroissante.
- Si q=1, la suite \left(q^n\right) est constante.
Terme général d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p.
Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :
u_{n} = u_{0} \times q^{n}
On considère une suite u géométrique de raison q=2 et de premier terme u_5=3.
On a alors, pour tout entier naturel n\geq 5 : u_n=3\times 2^{n-5}
Somme des termes d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q \neq 1, définie pour tout entier naturel n :
u_{0} + u_{1} + u_{2} +... + u_{n} = u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Plus généralement, pour tout entier naturel p \lt n :
u_{p} + u_{p+1} + u_{p+2} +... + u_{n} = u_{p}\dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}
Soit \left( u_n \right) une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=4.
On souhaite calculer la somme suivante :
S=u_0+u_1+u_2+\cdot\cdot\cdot+u_{25}
D'après la formule, on sait que :
S=u_0\times \dfrac{1-q^{25+1}}{1-q}
Ainsi :
S=4\times\dfrac{1-5^{26}}{1-5}=5^{26}-1
L'exposant \left(n+1\right) apparaissant dans la première formule, ou \left(n-p+1\right) dans le cas général, correspond en fait au nombre de termes de la somme.
En particulier, pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel non nul n :
1 + q + q^{2} +... + q^{n} =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
1+3+3^2+3^3+ \cdot\cdot\cdot+3^{52}=\dfrac{1-3^{53}}{1-3}=-\dfrac12+\dfrac12\times3^{53}
Soit u une suite géométrique de raison q\neq1. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.
On considère la suite géométrique de raison q=0{,}5 et de premier terme u_0=16. On constate que les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés :
