Calculer une somme Exercice

S=\sum_{k=0}^{n}\left(3k+2-5^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=3n+2
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=5^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=3 et de premier terme u_0=2.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=5 et de premier terme v_0=1.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(3k+2-5^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k-v_k\right)

S=u_0-v_0+u_1-v_1+...+u_n-v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)-\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1-S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=2+3n, et que u_0=2

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(2+2+3n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(3n+4\right)\left(n+1\right)}{2}

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=1 et que l'on a q=5 :

S_2=1\times \dfrac{1-5^{\text{Nombre de termes}}}{1-5}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=1\times \dfrac{1-5^{n+1}}{1-5}

S_2=-\dfrac{1}{4}\times \left( 1-5^{n+1} \right)

S=S_1-S_2

S=\dfrac{\left(3n+4\right)\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1}{4}\times \left( 1-5^{n+1} \right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-2k-3+4^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-2n-3
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=4^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=-3.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=4 et de premier terme v_0=1.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-2k-3+4^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-2n-3, et que u_0=-3

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(-3-3-2n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(-2n-6\right)\left(n+1\right)}{2}

S_1=\left(-n-3\right)\left(n+1\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=1 et que l'on a q=4 :

S_2=1\times \dfrac{1-4^{\text{Nombre de termes}}}{1-4}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=1\times \dfrac{1-4^{n+1}}{1-4}

S_2=-\dfrac{1}{3}\times \left( 1-4^{n+1} \right)

S=S_1+S_2

S=\left(-n-3\right)\left(n+1\right)-\dfrac{1}{3}\times \left( 1-4^{n+1} \right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(5k+1+2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=5n+1
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme u_0=1.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{1}{2} et de premier terme v_0=2.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(5k+1+2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=5n+1, et que u_0=1

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(1+1+5n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(5n+2\right)\left(n+1\right)}{2}

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=2 et que l'on a q=\dfrac{1}{2} :

S_2=2\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2}^{\text{Nombre de termes}}}{1-\dfrac{1}{2}}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=2\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}

S_2=4\times \left( 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \right)

S=S_1+S_2

S=\dfrac{\left(5n+2\right)\left(n+1\right)}{2}+4\left( 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-6k+4+\dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-6n+4
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=\dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=-6 et de premier terme u_0=4.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{1}{3} et de premier terme v_0=\dfrac{2}{3}.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-6k+4+\dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-6n+4, et que u_0=4

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(4+4-6n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(-6n+8\right)\left(n+1\right)}{2}

S_1=\left(-3n+4\right)\left(n+1\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=\dfrac{2}{3} et que l'on a q=\dfrac{1}{3} :

S_2=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{3}^{\text{Nombre de termes}}}{1-\dfrac{1}{3}}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{2}{3}}

S_2=\left( 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \right)

S=S_1+S_2

S=\left(-3n+4\right)\left(n+1\right)+\left( 1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(8k-5+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=8n-5
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=8 et de premier terme u_0=-5.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{3}{2} et de premier terme v_0=\dfrac{4}{5}.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(8k-5+\dfrac{4}{5} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=8n-5, et que u_0=-5

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(-5-5+8n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(8n-10\right)\left(n+1\right)}{2}

S_1=\left(4n-5\right)\left(n+1\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=\dfrac{4}{5} et que l'on a q=\dfrac{3}{2} :

S_2=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{1-\dfrac{3}{2}^{\text{Nombre de termes}}}{1-\dfrac{3}{2}}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1}}{-\dfrac{1}{2}}

S_2=-\dfrac{8}{5}\left( 1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} \right)

S=S_1+S_2

S=\left(4n-5\right)\left(n+1\right)-\dfrac{8}{5}\left( 1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} \right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{4}k+2+\dfrac{1}{4} \times 2^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=\dfrac{1}{4}n+2
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=\dfrac{1}{4} \times 2^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=\dfrac{1}{4} et de premier terme u_0=2.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=2 et de premier terme v_0=\dfrac{1}{4}..

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{4}k+2+\dfrac{1}{4} \times 2^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=\dfrac{1}{4}n+2, et que u_0=2

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(2+2+\dfrac{1}{4}n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(4+\dfrac{1}{4}n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\left(2+\dfrac{1}{8}n\right)\left(n+1\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=\dfrac{1}{4} et que l'on a q=2 :

S_2=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1-2^{\text{Nombre de termes}}}{1-2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=-\dfrac{1}{4}\times \left(1-2^{n+1}\right)

S=S_1+S_2

S=\left(2+\dfrac{1}{8}n\right)\left(n+1\right)-\dfrac{1}{4}\times \left(1-2^{n+1}\right)