Les vecteurs du plan
La translation
Translation
Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est une transformation du plan qui à tout point C associe le point D tel que \left[ AD \right] et \left[ BC \right] ont même milieu.
Cette transformation est appelée translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB} si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Les propriétés
Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
- Une direction
- Un sens
- Une norme
On le représente par une flèche.
Soient deux points A et B, et soit \overrightarrow{u} le vecteur correspondant à la translation qui transforme A en B.
- Le vecteur \overrightarrow{AB} est un représentant du vecteur \overrightarrow{u}.
- La direction du vecteur \overrightarrow{u} est celle de la droite \left( AB \right).
- Le sens du vecteur \overrightarrow{u} est le sens de l'origine A vers l'extrémité B.
- La norme du vecteur \overrightarrow{u} est la longueur AB du segment \left[ AB \right]. On la note \left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=AB.
Définir un vecteur revient à définir une translation.
Sur la figure ci-dessous, les points A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et C par la translation de vecteur \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BB'} et \overrightarrow{CC'} sont donc des représentants du vecteur \overrightarrow{u}. On écrit alors :
\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}
Un vecteur admet une infinité de représentants.
Vecteur nul
Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté \overrightarrow{0}.
Quel que soit le point A du plan, on a \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.
Opposé d'un vecteur
Soient A et B deux points du plan. Le vecteur \overrightarrow{BA} est l'opposé du vecteur \overrightarrow{AB}. On note \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.
ABCD est un losange de centre O.
\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont deux vecteurs opposés. On note :
\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC} sont égaux :
- Si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC} ont même direction, même sens et même norme.
- Si et seulement si C est l'image de D par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
- Si et seulement si les segments \left[ AC \right] et \left[ BD \right] ont même milieu
- Si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati)
ABCD est un losange de centre O. \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC} sont des vecteurs égaux.
M est le milieu de \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.
Opérations sur les vecteurs
Somme de vecteurs
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. La somme des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est le vecteur \overrightarrow{w} associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. On note \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.
Relation de Chasles
Soient A, B et C trois points distincts du plan. Alors :
\overrightarrow{A{\textcolor{Red}B}} + \overrightarrow{{\textcolor{Red}B}C} =\overrightarrow{AC}
Pour dessiner un représentant de la somme \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, on peut positionner des représentants des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} bout à bout et déterminer un représentant du vecteur somme à l'aide de la relation de Chasles.
Pour dessiner un représentant de la somme \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, on peut positionner des représentants des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} à partir de la même origine, et construire un parallélogramme dont un représentant du vecteur somme est une "diagonale".
Produit d'un vecteur par un réel
Le produit d'un vecteur \overrightarrow{u} par un réel k est un vecteur noté k\overrightarrow{u} dont les caractéristiques sont les suivantes :
- k\overrightarrow{u} a la même direction que \overrightarrow{u} ;
- k\overrightarrow{u} a le même sens que \overrightarrow{u} si k est positif ou le sens contraire de \overrightarrow{u} si k est négatif ;
- La norme de k\overrightarrow{u} est égale à \left| k \right|\times \left\| \overrightarrow{u} \right\|.
Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC] donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ont la même direction et le même sens. De plus, la longueur AB est la moitié de la longueur AC.
On peut donc écrire : \overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}.
Soient k un réel, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. On a :
- \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}
- 0 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}
- k \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}
- k \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) =k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}
Pour tout point M du plan, on peut écrire :
k\overrightarrow{AB}=k\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} \right)=k\overrightarrow{AM}+k\overrightarrow{MB}
Les coordonnées cartésiennes dans le repère
Le plan est rapporté à un repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right).
Les coordonnées d'un point
Coordonnées d'un point
Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels \left(x ; y\right) tels que :
\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}
On appelle coordonnées de M dans le repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right) le couple \left(x ; y\right).
Si \overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{i}-\dfrac13\overrightarrow{j}, alors les coordonnées de A sont \left( 5;-\dfrac13 \right).
Abscisse et ordonnée
Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du point M.
Dans le repère ci-dessus, on a \overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}.
Le point M a donc pour coordonnées M\left( 2{,}2 \right).
Les coordonnées d'un vecteur
Coordonnées d'un vecteur
Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan.
Il existe un unique couple de réels \left(x ; y\right) tels que :
\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}
On appelle coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans le repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right) le couple \left(x ; y\right).
Si \overrightarrow{AB}=\dfrac56\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}, alors les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont \left( \dfrac56;-3 \right).
Abscisse et ordonnée
Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du vecteur \overrightarrow{u}.
A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "fixe" puisqu'il admet une infinité de représentants.
Coordonnées d'un vecteur
Soient deux points du plan A \left(x_{A} ; y_{A}\right) et B \left(x_{B} ; y_{B}\right).
Les coordonnées \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} du vecteur \overrightarrow{AB} vérifient :
x = x_{B} - x_{A}
y = y_{B} - y_{A}
On considère les points A\left(\textcolor{Blue}{2};\textcolor{Red}{2}\right) et B\left(\textcolor{Blue}{4};\textcolor{Red}{5}\right).
On en déduit :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \textcolor{Blue}{4-2} \cr \textcolor{Red}{5-2} \end{pmatrix}
Finalement :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \end{pmatrix}
On a bien :
\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}
Soient \overrightarrow{u} un vecteur du plan de coordonnées \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} un vecteur du plan de coordonnées \begin{pmatrix} x^{'} \cr y^{'} \end{pmatrix}.
Pour tout réel k, le vecteur k\overrightarrow{u} a pour coordonnées \begin{pmatrix}k x \cr k y \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x+x^{'} \cr y+y^{'} \end{pmatrix}.
Si le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix} alors le vecteur -3\overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}-3\times 5 \cr -3\times\left(-2\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15 \cr 6 \end{pmatrix}.
Si le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix} et le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \end{pmatrix} alors le vecteur \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix}5-1 \cr -2+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \cr 1 \end{pmatrix}.
Les vecteurs colinéaires
Définition
Vecteurs colinéaires (1)
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k non nul tel que :
\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}
Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : \overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}.
Ainsi les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Vecteurs colinéaires (2)
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.
Sur la figure ci-dessus, les deux vecteurs ont des directions parallèles et sont donc colinéaires.
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
- Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.
Dans le trapèze ABCD ci-dessous, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AD} sont donc colinéaires.
Soient les vecteurs \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5 \cr 20 \end{pmatrix}. On peut remarquer que \overrightarrow{AC}=-5\overrightarrow{AB}. Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.
La caractérisation analytique
Caractérisation analytique
Deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :
xy' = x'y
Les vecteurs \overrightarrow{u} \left(\textcolor{Blue}{2} ; \textcolor{Red}{-1}\right) et \overrightarrow{v} \left(\textcolor{Red}{-6} ; \textcolor{Blue}{3}\right) sont-ils colinéaires ?
Pour le savoir, on calcule :
\textcolor{Blue}{2 \times 3} - \textcolor{Red}{\left(-1\right) \times \left(-6\right)} = 6 - 6 = 0
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc colinéaires.