Démontrer la colinéarité de deux vecteurs Exercice

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \cr\cr 2-3\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 9-5 \cr\cr -6-\left(-4\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -2\end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{4}{2}=\dfrac{-2}{-1}.
Donc : \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-\left(-1\right) \cr\cr -1-\left(-2\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 1\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 5-6 \cr\cr 5-1\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-1}{5}\neq\dfrac{4}{1}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IC} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{IC}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1-6 \cr\cr -7-3\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -7 \cr\cr -10\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{I} \cr\cr y_{C}-y_{I} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 2-1 \cr\cr 5-0\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 5 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{IC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{1}{-7}\neq\dfrac{5}{-10}.

Les vecteurs \overrightarrow{OB} et \overrightarrow{AI} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{AI}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{O} \cr\cr y_{B}-y_{O} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 2-0 \cr\cr -6-0\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -6\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} x_{I}-x_{A} \cr\cr y_{I}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 1-\left(-5\right) \cr\cr 0-18\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -18 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{AI} sur celles de \overrightarrow{OB}, on remarque : \dfrac{6}{2}=\dfrac{-18}{-6}.

Donc : \overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0-\left(-4\right) \cr\cr 9-\left(-12\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 21\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 5-6 \cr\cr 4-\left(-2\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 6 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-1}{4}\neq\dfrac{6}{21}.

Les vecteurs \overrightarrow{BJ} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{BJ}=k\overrightarrow{AC}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} x_{J}-x_{B} \cr\cr y_{J}-y_{B} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} 0-8 \cr\cr 1-4\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} -8 \cr\cr -3\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -13-\left(-2\right) \cr\cr 2-\left(-2\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -11 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{AC} sur celles de \overrightarrow{BJ}, on remarque : \dfrac{-11}{-8}\neq\dfrac{4}{-3}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7-3 \cr\cr 3-\left(-13\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 16\end{pmatrix}.
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2-\left(-1\right) \cr\cr 4-\left(-8\right)\end{pmatrix}. Ainsi, \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 12 \end{pmatrix}.

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{16}.

Donc : \overrightarrow{CD}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}.