Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -3;5 \right), B\left( 6;1 \right) et C\left( 2;-4 \right).
Quelles sont les coordonnées du point D tel que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} ?
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ont les mêmes coordonnées.
En posant D\left( x;y \right), on obtient :
- \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr -4\end{pmatrix}
- \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-2 \cr\cr y+4\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} 9=x-2 \cr \cr -4=y+4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=9+2 \cr \cr y=-4-4 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=11 \cr \cr y=-8 \end{cases}
On obtient D\left( 11;-8 \right).
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -3;5 \right), B\left( 6;1 \right) et C\left( 2;-4 \right).
Quelles sont les coordonnées du point E tel que \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EB} ?
On pose E\left( x;y \right). On a les coordonnées de vecteurs suivantes :
- \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr -4\end{pmatrix}. De plus, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr -9\end{pmatrix}. Ainsi le vecteur \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 9+2\times5 \cr\cr -4+2\times\left(-9\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix}19 \cr\cr -22 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{EB}\begin{pmatrix} x_{B}-x \cr\cr y_{B}-y \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{EB}\begin{pmatrix} 6-x \cr\cr 1-y\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EB} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} 19=6-x \cr \cr -22=1-y \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=6-19 \cr \cr y=1+22 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-13 \cr \cr y=23 \end{cases}
On obtient E\left( -13;23 \right).
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -2;2 \right), B\left( 4;-1 \right) et C\left( 0;1 \right).
Quelles sont les coordonnées du ou des points M vérifiant \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{AC} ?
On pose M\left( x;y \right). On a les coordonnées de vecteurs suivantes :
- \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{O} \cr\cr y_{B}-y_{O} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -1\end{pmatrix}. De plus, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1\end{pmatrix}. Ainsi le vecteur \overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{AC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 4+2\times2 \cr\cr -1+2\times\left(-1\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix} 8 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} x_{A}-x \cr\cr y_{A}-y \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -2-x \cr\cr 2-y\end{pmatrix}
\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{AC} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} -2-x=8 \cr \cr 2-y=-3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2-8 \cr \cr y=2+3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-10 \cr \cr y=5 \end{cases}
On obtient M\left( -10;5 \right).
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -2;2 \right), B\left( 4;-1 \right) et C\left( 0;1 \right).
Quelles sont les coordonnées du ou des points N vérifiant 3\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0} ?
On pose N\left( x;y \right).
\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix} x-x_{A} \cr\cr y-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AN}\begin{pmatrix} x+2 \cr\cr y-2\end{pmatrix}. De plus \overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} x-x_{B} \cr\cr y-y_{B} \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{BN}\begin{pmatrix} x-4 \cr\cr y+1\end{pmatrix}. Ainsi le vecteur 3\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{BN} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 3\times\left(x+2\right)-\left(x-4\right) \cr\cr 3\times\left(y-2\right)-\left(y+1\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix} 2x+10 \cr\cr 2y-7 \end{pmatrix}.
3\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} 2x+10=0 \cr \cr 2y-7=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=-5 \cr \cr y=\dfrac{7}{2} \end{cases}
On obtient N\left( -5;\dfrac{7}{2} \right).
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -2;2 \right), B\left( 4;-1 \right) et C\left( 0;1 \right).
Quelles sont les coordonnées du ou des points K vérifiant \overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{CA} ?
On pose K\left( x;y \right). On a les coordonnées de vecteurs suivantes :
- \overrightarrow{KA}\begin{pmatrix} x_{A}-x \cr\cr y_{A}-y \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{KA}\begin{pmatrix} -2-x \cr\cr 2-y\end{pmatrix}. De plus, \overrightarrow{KC}\begin{pmatrix} x_{C}-x \cr\cr y_{C}-y \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{KC}\begin{pmatrix} -x \cr\cr 1-y\end{pmatrix}.Ainsi le vecteur \overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} \left(-2-x\right)-\left(-x\right) \cr\cr \left(2-y\right)-\left(1-y\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} x_{A}-x_{C} \cr\cr y_{A}-y_{C} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 1\end{pmatrix}
\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{CA} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} -2=-2 \cr \cr 1=1 \end{cases}
Ce système est donc vérifié quels que soient les valeurs de x et y, donc pour tout point K du repère.
En effet, il est possible de s'en apercevoir sans passer par la résolution du système. Pour tout point K du plan, la relation de Chasles permet d'écrire :
\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KC}
Tous les points du repère vérifient donc cette relation vectorielle.
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -1;3 \right), B\left( 5;0 \right) et C\left( 2;7 \right).
Quelles sont les coordonnées du ou des points L vérifiant 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AL} ?
On pose L\left( x;y \right). On a les coordonnées de vecteurs suivantes :
- \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -3\end{pmatrix}. De plus, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4\end{pmatrix}. Ainsi le vecteur 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2\times6-3 \cr\cr 2\times\left(-3\right)-4 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix} 9 \cr\cr -10 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{AL}\begin{pmatrix} x-x_{A} \cr\cr x-y_{A}\end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AL}\begin{pmatrix}x+1 \cr\cr y-3\end{pmatrix}
2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AL} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} 9=x+1 \cr \cr -10=y-3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=9-1 \cr \cr y=-10+3 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=8 \cr \cr y=-7 \end{cases}
On obtient L\left( 8;-7 \right).
Soit le repère \left(O;I;J\right).
On donne A\left( -1;3 \right), B\left( 5;0 \right) et C\left( 2;7 \right).
Déterminer les coordonnées du ou des points P vérifiant 2\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{PB}.
On pose P\left( x;y \right). On a les coordonnées de vecteurs suivantes :
- \overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} x_{I}-x_{A} \cr\cr y_{I}-y_{A} \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3\end{pmatrix}. De plus, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4\end{pmatrix}. Ainsi le vecteur 2\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AC} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 2\times2-3\times3 \cr\cr 2\times\left(-3\right)-3\times4 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix} -5 \cr\cr -18 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{PB}\begin{pmatrix} x_{B}-x \cr\cr y_{B}-y \end{pmatrix}, c'est-à-dire, \overrightarrow{PB}\begin{pmatrix} 5-x \cr\cr -y\end{pmatrix}
2\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{PB} si et seulement si le système suivant est vérifié :
\begin{cases} -5=5-x \cr \cr -18=-y \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=5+5 \cr \cr y=18 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x=10 \cr \cr y=18 \end{cases}
On obtient P\left( 10;18 \right).