ABCD est un carré de côté 10 cm. Les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AD\right], \left[AB \right], \left[BC \right] et \left[CD\right] tels que ED=FB=BG=HD=x (x réel positif).
Quelle est l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFGH en fonction de x ?
Le quadrilatère EFGH est obtenu en retirant au carré ABCD quatre triangles rectangles AEF, FBG, GCH et EDH.
L'aire du carré ABCD est égale à 10^{2}=100
Les triangles rectangles AFE et GCH ayant la même aire, il suffit de calculer l'aire de l'un d'entre eux, le triangle AFE par exemple.
Les triangles rectangles FBG et EDH ayant la même aire, il suffit de calculer l'aire de l'un d'entre eux, le triangle FBG par exemple.
Dans le triangle rectangle AFE, on a :
- AF=AE=10-x
L'aire du triangle AFE est donc égale à : \dfrac{\left(10-x\right)^{2}}{2}
Dans le triangle rectangle FBG, on a :
- FB=BG=x
L'aire du triangle FBG est donc égale à : \dfrac{x^{2}}{2}
Finalement, l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFGH est égale à :
A\left(x\right)=100-2\times\dfrac{\left(10-x\right)^{2}}{2}-2\times\dfrac{x^{2}}{2}
A\left(x\right)=100-\left(10-x\right)^{2}-x^{2}
A\left(x\right)=100-\left(100-20x+x^{2}\right)-x^{2}
A\left(x\right)=100-100+20x-x^{2}-x^{2}
Soit :
A\left(x\right)=-2x^{2}+20x
Quel est le domaine de définition de la fonction A ?
On sait que les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AD\right], \left[AB \right], \left[BC \right] et \left[CD\right]. On en déduit que : 0\leqslant AE \leqslant AD, et de même pour les longueurs AF, BG et CH.
Ce qui signifie : 0\leqslant x \leqslant 10
Le domaine de définition de A est donc \left[0;10 \right].