ABCD est un carré de côté 9 cm. Les points E et F appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right], tels que AE=CF=x (x réel positif)
Quelle est l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFCD en fonction de x ?
Le quadrilatère EFCD est obtenu en retirant au carré ABCD deux triangles rectangles, EAD et EBF.
L'aire du carré ABCD est égale à 9^{2}=81
Les deux triangles rectangles n'ayant pas la même aire, il faut calculer l'aire de chaque triangle
Dans le triangle rectangle EAD, on a :
- AE=x
- AD=9
L'aire du triangle AED est donc égale à : \dfrac{9x}{2}
Dans le triangle rectangle EBF, on a :
BF=EB=AB-AE=9-x
L'aire du triangle EBF est donc égale à : \dfrac{\left(9-x\right)^2}{2}
Finalement, l'aire A\left(x\right) du quadrilatère EFCD est égale à :
A\left(x\right)=81-\dfrac{\left(9-x\right)^2}{2}-\dfrac{9x}{2}
A\left(x\right)=81-\dfrac{81-18x+x^2}{2}-\dfrac{9x}{2}
A\left(x\right)=\dfrac{162-81+18x-x^2-9x}{2}
A\left(x\right)=\dfrac{81+9x-x^2}{2}
A\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\left(-x^2+9x+81\right)
Quel est le domaine de définition de la fonction A ?
On sait que les points E et F appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right]. On en déduit que : 0\leqslant AE \leqslant AB, et de même pour la longueur BF.
Ce qui signifie : 0\leqslant x \leqslant 9
Le domaine de définition de A est donc \left[0;9 \right].