Une usine spécialisée dans la fabrication de moteurs de motos produit entre 0 et 5000 pièces par an.
Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :
C\left(x\right)=\dfrac{1}{15}x^3-25x^2+3\ 000x
Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :
C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)
Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :
P\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x+3\ 900
R\left(x\right) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :
R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)
Quelle est, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces ?
La recette étant égale au prix de vente unitaire d'une pièce multiplié par la quantité de pièces vendue, on obtient pour tout x compris entre 0 et 5000 :
R\left(x\right)=xP\left(x\right)
R\left(x\right)=x\times\left(\dfrac{7}{2}x+3\ 900\right)
R\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x^2+3\ 900x
Pour tout x\in\left[ 0;5\ 000 \right], R\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x^2+3\ 900x
Pour quelles valeurs de x la recette marginale R_M\left(x\right) est-elle égale au coût marginal C_M\left(x\right) ?
Pour tout x\in\left[ 0;5\ 000 \right] :
R_M\left(x\right)=C_M\left(x\right)
\Leftrightarrow R'\left(x\right)=C'\left(x\right)
Les fonctions R et C sont des polynômes, elles sont donc dérivables sur \left[ 0;5\ 000 \right] et on a :
- R'\left(x\right)=7x+3\ 900
- C'\left(x\right)=\dfrac{1}{5}x^2-50x+3\ 000
On cherche donc à résoudre, dans \left[ 0;5\ 000 \right] :
7x+3\ 900=\dfrac{1}{5}x^2-50x+3\ 000
\Leftrightarrow 7x+3\ 900=\dfrac{1}{5}x^2-50x+3\ 000
\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5}x^2+57x+900=0
Il s'agit d'une équation du second degré, on peut utiliser le discriminant pour chercher ses solutions :
\Delta=b^2-4ac=57^2-4\times\dfrac{1}{5}\times900=3\ 249+720=3\ 969
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions distinctes :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-57-\sqrt{3\ 969}}{2\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)}=\dfrac{-57-63}{-\dfrac{2}{5}}=-120\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)=300
- x_2=\dfrac{-b2\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-57+\sqrt{3\ 969}}{2\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)}=\dfrac{-57+63}{-\dfrac{2}{5}}=6\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-15
Seule la solution 300 est dans l'intervalle \left[ 0;5\ 000 \right]
La recette marginale est donc égale au coût marginal lorsque l'usine produit et vend 300 pièces.
Quel est, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces ?
Le bénéfice étant égal à la recette moins les coûts, on obtient pour tout x compris entre 0 et 5000 :
B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)
B\left(x\right)=\left(\dfrac{7}{2}x^2+3\ 900x\right)-\left(\dfrac{1}{15}x^3-25x^2+3\ 000x\right)
Pour tout x\in\left[ 0;5\ 000 \right], B\left(x\right)=-\dfrac{1}{15}x^3+\dfrac{57}{2}x^2+900x
Quelle est la valeur de B'\left(x\right) ?
B est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;5\ 000 \right], on a :
B'\left(x\right)=-\dfrac{1}{5}x^2+57x+900
Pour tout x\in\left[ 0;5\ 000 \right], B'\left(x\right)=-\dfrac{1}{5}x^2+57x+900
Quelle proposition montre que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal ?
Pour étudier le bénéfice maximum, on cherche les variations de B.
B'\left(x\right) est égal au trinôme du second degré dont on a déjà déterminé les racines plus haut (300 et -15).
On obtient, après avoir calculé B\left(300\right), le tableau suivant :
On en déduit que le bénéfice est donc maximum pour 300 pièces vendues, c'est-à-dire lorsque la recette marginale est égale au coût marginal.
Ce bénéfice maximum est égal à 1 035 000 €.