Sommaire
1Déterminer une équation de la tangente 2Réciter le cours 3Calculer et simplifier f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 4Etudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 5ConclurePour étudier la position de la courbe par rapport à une tangente T d'équation y=ax+b, on détermine le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right).
On considère la fonction f définie pour tout x\in \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^2
On appelle C_f sa courbe représentative et T celle de sa tangente au point d'abscisse x= 0{,}5.
Etudier la position relative de C_f et de T.
Déterminer une équation de la tangente
Si f est dérivable en a, la tangente T_a à C_f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)
On calcule les valeurs de f'\left(a\right) et de f\left(a\right) afin de déterminer une équation de T_a .
La fonction carré est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en 0,5. La tangente T à C_f au point d'abscisse x=0{,}5 a pour équation :
y=f'\left(0{,}5\right)\left(x-0{,}5\right)+f\left(0{,}5\right)
On calcule les valeurs de f'\left(0{,}5\right) et de f\left(0{,}5\right) :
- \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x donc f'\left(0{,}5\right) = 2\times 0{,}5 = 1
-
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2 donc f\left(0{,}5\right) = 0{,}5^2 = 0{,}25
On en déduit que T admet pour équation :
y=1\left(x-0{,}5\right)+0{,}25
Finalement, T admet pour équation :
y=x-0{,}25
Réciter le cours
Afin d'étudier la position relative de C_f et de T d'équation y=ax+b sur un intervalle I, il faut étudier le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right) sur I.
Afin d'étudier la position relative de Cf et de T sur \mathbb{R}, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-0{,}25\right) sur \mathbb{R}.
Calculer et simplifier f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On calcule f\left(x\right)-\left(ax+b\right) et on simplifie son expression afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe.
Pour tout réel x :
f\left(x\right) - \left(x-0{,}25\right) = x^2 - \left(x-0{,}25\right)
Ainsi, pour tout réel x :
f\left(x\right) - \left(x-0{,}25\right) = x^2 - x+0{,}25
Etudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On détermine le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right). Sauf si le résultat est très simple, on récapitule le résultat dans un tableau de signes.
On reconnaît un trinôme du second degré.
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac= \left(-1\right)^2 -4\times 1 \times 0{,}25 =1-1 = 0
\Delta = 0 donc le trinôme est du signe de a (positif) sur \mathbb{R} et nul au niveau de la racine.
On détermine l'unique racine :
- x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1}{2\times1}= \dfrac{1}{2}
On en déduit que :
- f\left(x\right) -\left(x-0{,}25\right) \gt 0 sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}
- f\left(x\right) -\left(x-0{,}25\right) =0 pour x = \dfrac{1}{2}
Conclure
On distingue 3 cas :
- f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0 sur I, alors C_f est au-dessus de T sur I.
- f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0 sur I, alors C_f est en dessous de T sur I.
- f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0, alors C_f et T sont sécantes au(x) point(s) d'abscisse(s) la (ou les) solution(s) de l'équation.
Ainsi :
- C_f est au-dessus de T sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}
- C_f et T sont sécantes au point d'abscisse x = \dfrac{1}{2}