On sait déterminer par le calcul une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse donné.
On considère la fonction f définie pour tout x \in\mathbb{R} par :
f\left(x\right) = 2x^2+x
On appelle C_f sa courbe représentative.
Déterminer une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x=1.
Réciter la formule
On énonce l'équation de la tangente : si f est une fonction dérivable en a, la tangente à C_f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)
Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent en 1. La tangente T_1 à Cf au point d'abscisse x =1 a pour équation :
y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Calculer f\left(a\right)
On calcule la valeur de f\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f.
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = 2x^2+x
Donc f\left(1\right) = 2\times 1^2 + 1 = 3
Calculer f'\left(a\right)
Deux cas peuvent se présenter :
Une expression de f'\left(x\right) est connue
On calcule la valeur de f'\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.
Aucune expression de f'\left(x\right) n'est connue
On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .
On calcule ensuite la valeur de f'\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.
Ici, aucune expression de f'\left(x\right) n'est connue. On détermine donc une expression de f'\left(x\right) :
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)= 2x^2+x
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 4x+1
Ainsi :
f'\left(1\right)= 4\times 1+1= 5
Conclure
On remplace, dans l'équation précédente de la tangente, f'\left(a\right) et f\left(a\right) par leurs valeurs respectives. On simplifie ensuite l'expression.
On obtient une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
On sait que la tangente a pour équation :
y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right) avec f\left(1 \right) = 3 et f'\left(1\right)= 5.
On en déduit que T_1 admet pour équation :
T_1:y =5\left(x-1\right)+3
T_1:y =5x-5+3
T_1:y =5x-2