À partir de l'expression d'une fonction dérivable sur un intervalle I, on peut réaliser une étude complète de cette fonction et dessiner une allure de sa courbe représentative.
On considère la fonction f définie par :
\forall x \in \left[ -2 ; 2\right],f\left(x\right) = -x^3+x^2+3x
Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.
Rappeler le domaine de définition de f
Soit le domaine de définition de la fonction est donné dans l'énoncé, soit on le détermine.
- \dfrac{1}{u\left(x\right)} existe si et seulement si u\left(x\right)\neq 0.
- \sqrt{u\left(x\right)} existe si et seulement si u\left(x\right)\geqslant 0.
- Les autres fonctions usuelles sont définies sur \mathbb{R}.
D'après l'énoncé, f est définie sur \left[ -2;2 \right].
Dériver f
On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .
f est dérivable sur \left[ -2;2 \right] en tant que restriction d'une fonction polynôme à l'intervalle \left[ -2;2 \right].
\forall x \in \left[ -2;2 \right], f\left(x\right)= -x^3+x^2+3x
Donc :
\forall x \in \left[ -2;2 \right], f'\left(x\right)= -3x^2+2x+3
Étudier le signe de f'(x)
On étudie le signe de f'\left(x\right) sur I.
f'\left(x\right) est un trinôme du second degré. Afin d'étudier son signe, on calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac
\Delta = 2^2 -4 \times \left(-3\right)\times 3
\Delta = 40
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) sauf entre les racines.
On détermine les racines :
- x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-2-\sqrt{40}}{-6} = \dfrac{1+\sqrt{10}}{3}
- x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-2+\sqrt{40}}{-6} = \dfrac{1-\sqrt{10}}{3}
On en déduit le signe de f'\left(x\right) sur \left[ -2;2 \right] :
Calculer les valeurs aux bornes et extremums
On calcule les valeurs de f aux bornes de l'ensemble de définition I.
Ici, f est définie sur \left[ -2;2 \right].
On calcule donc f\left(-2\right) et f\left(2\right) :
- f\left(-2\right)=-\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2+3\times \left(-2\right) = 8+4-6=6
- f\left(2\right)=-2^3+2^2+3\times 2 = -8+4+6=2
De plus, f' s'annule et change de signe en x_1 = \dfrac{1-\sqrt{10}}{3} et en x_2 = \dfrac{1+\sqrt{10}}{3}, ce sont donc des extremums locaux de la fonction.
On calcule donc f\left( \dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\right) et f\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\right) :
- f\left( \dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\right)=-\left(\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\right)^2+3\times \left(\dfrac{1-\sqrt{10}}{3}\right) \approx -1{,}27
- f\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\right)=-\left(\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^2+3\times \left(\dfrac{1+\sqrt{10}}{3}\right) \approx 3{,}42
Réciter le cours
On récite ensuite le cours :
- Si f'\left(x\right)\gt0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f'\left(x\right)\lt0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I
D'après le cours, une fonction est croissante sur I lorsque sa dérivée est positive sur I.et une fonction est décroissante sur I lorsque sa dérivée est négative sur I.
Ici, on a donc :
- f est strictement croissante sur \left[ \dfrac{1-\sqrt{10}}{3} ;\dfrac{1+\sqrt{10}}{3} \right].
- f est strictement décroissante sur \left[-2 ; \dfrac{1-\sqrt{10}}{3} \right] et sur \left[ \dfrac{1+\sqrt{10}}{3} ; 2\right].
Dresser le tableau de variations de f
On déduit alors du signe de f'\left(x\right) le sens de variation de f. On récapitule le résultat dans un tableau de variations.
Si les valeurs des images calculées sont approximatives, on ne met pas les valeurs approchées dans le tableau de variations, mais les valeurs sous la forme f\left(\alpha\right).
On en déduit le tableau de variations de f :
Construire un tableau de valeurs
On dresse un tableau donnant des valeurs de f, croissantes et suffisamment rapprochées, sur I.
On dresse un tableau de valeurs :
| x | -2 | -1,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f\left(x\right) | 6 | 1,125 | -1 | -1,125 | 0 | 1,625 | 3 | 3,375 | 2 |
Tracer une allure de la courbe représentative de f
À l'aide du tableau de valeurs, on trace l'allure de la courbe.
Lors du tracé de la courbe représentative de f, penser à respecter les autres informations présentes dans l'énoncé ou les questions précédentes : points d'intersection avec les axes du repère, équation de tangente, position par rapport à une autre courbe, etc.
Ici, on obtient le tracé de Cf, la courbe représentative de la fonction f :
