Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(x^2-5x+1\right)\left(-4x^2+x+4\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=x^2-5x+1
- v\left(x\right)=-4x^2+x+4
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=2x-5
- v'\left(x\right)=-8x+1
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=\left(2x-5\right)\left(-4x^2+x+4\right)+\left(x^2-5x+1\right)\left(-8x+1\right)
f'\left(x\right)=-8x^3+2x^2+8x+20x^2-5x-20-8x^3+x^2+40x^2-5x-8x+1
f'\left(x\right)=-16x^3+63x^2-10x-19
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-16x^3+63x^2-10x-19.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(3x+2\right)\left(4x^3+5x-2\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=3x+2
- v\left(x\right)=4x^3+5x-2
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=3
- v'\left(x\right)=12x^2+5
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3\times\left(4x^3+5x-2\right)+\left(3x+2\right)\times \left(12x^2+5\right)
f'\left(x\right)=12x^3+15x-6+36x^3+15x+24x^2+10
f'\left(x\right)=48x^3+24x^2+30x+4
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=48x^3+24x^2+30x+4.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(3x^2+x-4\right)\left(-2x+5\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=3x^2+x-4
- v\left(x\right)=-2x+5
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=6x+1
- v'\left(x\right)=-2
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=\left(6x+1\right)\left(-2x+5\right)+\left(3x^2+x-4\right)\times\left(-2\right)
f'\left(x\right)=-12x^2+30x-2x+5-6x^2-2x+8
f'\left(x\right)=-18x^2+26x+13
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-18x^2+26x+13.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(-5x+3\right)\left(-2x^2+4x-4\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=-5x+3
- v\left(x\right)=-2x^2+4x-4
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=-5
- v'\left(x\right)=-4x+4
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-5\times\left(-2x^2+4x-4\right)+\left(-5x+3\right)\times \left(-4x+4\right)
f'\left(x\right)=10x^2-20x+20+20x^2-20x-12x+12
f'\left(x\right)=30x^2-52x+32
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=30x^2-52x+32.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(x^2+3x-2\right)\left(-2x^2+x-2\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=x^2+3x-2
- v\left(x\right)=-2x^2+x-2
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=2x+3
- v'\left(x\right)=-4x+1
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(-2x^2+x-2\right)+\left(x^2+3x-2\right)\left(-4x+1\right)
f'\left(x\right)=-4x^3+2x^2-4x-6x^2+3x-6-4x^3+x^2-12x^2+3x+8x-2
f'\left(x\right)=-8x^3-15x^2+10x-8
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-8x^3-15x^2+10x-8.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=x\sqrt{x}.
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction x\longmapsto \sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^*
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}_+^*.
On remarque que f=u\times v avec pour tout x\in\mathbb{R}_+^* :
- u\left(x\right)=x
- v\left(x\right)=\sqrt{x}
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\mathbb{R}_+^* :
- u'\left(x\right)=1
- v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}_+^*, on a :
f'\left(x\right)=1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
f'\left(x\right)=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
f'\left(x\right)=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}
f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}
Pour tout x\in\mathbb{R}_+^*, f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(-x+2\right)\left(x^2+4x+5\right).
Quelle est l'expression de la dérivée de la fonction f ?
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} (polynômes).
On remarque que f=u\times v avec pour tout réel x :
- u\left(x\right)=-x+2
- v\left(x\right)=x^2+4x+5
On en déduit que f'=u'v+uv' avec pour tout réel x :
- u'\left(x\right)=-1
- v'\left(x\right)=2x+4
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-1\times\left(x^2+4x+5\right)+\left(-x+2\right)\times \left(2x+4\right)
f'\left(x\right)=-x^2-4x-5+\left(-2x^2-4x+4x+8\right)
f'\left(x\right)=-3x^2-4x+3
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=-3x^2-4x+3.