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Dernière modification : 16/10/2019 - Conforme au programme 2025-2026
On recherche une tangente passant par un point
Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :
y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)
Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f qui passe(nt) par le point B\left(x_B;y_B\right), on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a passe par B.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2
On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangentes à C_f passant par le point B\left(2;3\right).
Rappeler la condition
Rechercher une tangente passant par B\left(x_B;y_B\right) revient à rechercher le (ou les) point(s) d'abscisse(s) a au(x)quel(s) la droite est tangente à la courbe.
Ici on cherche a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(x_B;y_B\right).
On cherche le (ou les) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(2;3\right).
Poser l'équation
Si f est dérivable en a, une équation de la tangente T_a est :
y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)
Comme la tangente passe par le point B\left(x_B;y_B\right), les coordonnées de B vérifient l'équation de T_a, on a donc :
y_B = f'\left(a\right) \left(x_B-a\right)+f\left(a\right)
f étant la fonction carré, elle est dérivable sur \mathbb{R}. Ici, la tangente T_a passant par B\left(2;3\right) nous donne l'équation :
3 = f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)
Exprimer f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a
On exprime f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a.
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x
On en déduit que :
- f\left(a\right)= a^2
- f'\left(a\right)= 2a
Résoudre l'équation
On résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.
L'équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.
L'équation à résoudre devient ainsi :
3 = 2a\left(2-a\right)+a^2
4a-2a^2+a^2-3=0
-a^2+ 4a-3=0
L'équation obtenue est une équation du second degré du type \alpha x^2+\beta x+\gamma=0.
Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant \Delta :
\Delta = \beta^2-4\alpha \gamma
\Delta = 4^2 -4 \left(-1\right)\left(-3\right)
\Delta = 4
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions :
- a_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4-\sqrt{4}}{-2} = 3
- a_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4+\sqrt{4}}{-2} = 1
Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)
On conclut en donnant les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.
On détermine une équation de chaque tangente solution, de la forme y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right).
L'équation obtenue a deux solutions.
On en déduit qu'il existe deux tangentes à C_f passant par B\left(2;3\right).
La première est la tangente à C_f au point d'abscisse 1. Elle a pour équation :
y= f'\left(1\right) \left(x-1\right) +f\left(1\right)
Soit :
y =2x-1
La deuxième est la tangente à C_f au point d'abscisse 3. Elle a pour équation :
y= f'\left(3\right) \left(x-3\right) +f\left(3\right)
Soit :
y =6x-9
On cherche une tangente de coefficient directeur donné
Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :
y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)
Lorsque l'on recherche la tangente à C_f de coefficient directeur b, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a a pour coefficient directeur b.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1
On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf de coefficient directeur égal à 4.
Rappeler la condition
Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.
Ici on cherche a tel que la tangente T_a ait pour coefficient directeur la valeur b donnée.
On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a ait un coefficient directeur égal à 4.
Poser l'équation
Si f est dérivable en a, on sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.
Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si f'\left(a\right) = b.
Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en a. Le coefficient directeur de la tangente T_a vaut f'\left(a\right).
Ainsi, T_a a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si f'\left(a\right) = 4.
Calculer f'\left(x\right)
On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 8x-8
Résoudre l'équation
On résout l'équation f'\left(a\right) = b.
On résout :
f'\left(a\right)=4
\Leftrightarrow8a-8 = 4
\Leftrightarrow8a = 12
\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}
Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)
On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.
On détermine une équation de chaque tangente solution :
y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)
Il existe donc une tangente à C_f de coefficient directeur égal à 4, c'est la tangente au point d'abscisse \dfrac{3}{2}.
Elle admet pour équation :
y = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) +f\left(\dfrac{3}{2}\right)
Soit :
y = 4x-6 +4\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 -8\left(\dfrac{3}{2}\right) +1
Finalement :
T_{1{,}5}:y = 4x-8
On cherche une tangente parallèle à une droite
Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :
y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)
Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f parallèle(s) à une droite D, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a soit parallèle à D.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) =-2 x^2 +4x+3
On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf parallèle(s) à la droite d'équation y = 6x-2.
Rappeler la condition
Rechercher une tangente parallèle à une droite de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.
Ici on cherche a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite D.
On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite d'équation y = 6x-2.
Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles
Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.
Il faut donc ici que la (ou les) tangente(s) T_a ai(en)t le même coefficient directeur que D.
Or, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc le(s) point(s) d'abscisse a tel(s) que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 6.
Poser l'équation
On sait si f est dérivable en a que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.
Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :
f'\left(a\right) = b
Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}. Donc le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a vaut f'\left(a\right).
Ainsi, la tangente Ta a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :
f'\left(a\right) = 6
Calculer f'\left(x\right)
On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =-2x^2 +4x+3
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= -4x+4
Résoudre l'équation
On résout l'équation f'\left(a\right) = b.
On résout donc :
f'\left(a\right)=6
\Leftrightarrow-4a+4=6
\Leftrightarrow-4a = 2
\Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2}
Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)
On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.
On détermine une équation de chaque tangente solution :
y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right) ou, plus simplement, y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)
La seule tangente à Cf de coefficient directeur égal à 6 est la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{2}.
Elle admet pour équation :
y = 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right) +f\left(-\dfrac{1}{2}\right)
Soit :
y = 6x+3 -2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 +4\left(-\dfrac{1}{2}\right) +3
y = 6x+3{,}5