Soit une particule chargée initialement placée à l'origine d'un repère (Oxy) et animée d'une vitesse initiale de 2.106 m.s-1 selon l'axe de x. L'objet, plongé dans un champ électrique uniforme, a un mouvement uniformément varié d'accélération : \overrightarrow{a}=5.10^9\overrightarrow{j}.
Quelle est l'expression du vecteur vitesse de l'objet au cours de son mouvement ?
On a :
a_x=0 et a_y=5.10^9
Or :
a_x=\dfrac{d v_x}{dt} et a_y=\dfrac{d v_y}{dt}
D'où par recherche des primitives :
v_x\left(t\right)=C_1 et v_y\left(t\right)=5.10^9t+C_2
On connaît la vitesse à l'instant initial t=0 et ainsi on va déterminer les constantes :
v_x\left(0\right)=2.10^6=C_1 et v_y\left(0\right)=0=5.10^9\times 0+C_2.
D'où :
C_1=2.10^6 et C_2=0
Donc :
v_x\left(t\right)=2.10^6 et v_y\left(t\right)=5.10^9t
Les composantes de la vitesse sont : v_x\left(t\right)=2.10^6 et v_y\left(t\right)=5.10^9t (en m/s).
Quelles sont les expressions horaires de la position de l'objet ?
On a :
v_x\left(t\right)=2.10^6 et v_y\left(t\right)=5.10^9t
Or :
v_x=\dfrac{d x}{dt} et v_y=\dfrac{d y}{dt}
D'où par recherche des primitives :
x\left(t\right)=2.10^6 t +D_1 et y\left(t\right)=5.10^9\dfrac{t^2}{2}+D_2
On détermine ainsi les constantes avec la position initiale :
x\left(0\right)=0=D_1 et y\left(0\right)=0=5.10^9\times \dfrac{0^2}{2}+D_2
D'où :
D_1=0 et D_2=0
Donc :
x\left(t\right)=2.10^6 t et y\left(t\right)=5.10^9\dfrac{t^2}{2}
Les équations horaires de la position sont : x\left(t\right)=2.10^6 t et y\left(t\right)=2{,}5.10^9t^2 (en m).