Un patient reçoit une injection unique d'un médicament.
On admet que la concentration sanguine du médicament, en mg/L, est modélisée par la fonction C(t)=100 \times 0{,}8^{t} où t est le temps exprimé en heures après l'injection.
On donne sa représentation graphique :
D'après ce graphique, au bout de combien d'heures la concentration du médicament dans le sang du patient ne sera-t-elle plus que 10 % de la concentration initiale ?
La fonction C est le produit du réel positif 100 par une fonction exponentielle de base a=0{,}8.
On sait que si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A\gt0 pour x assez grand.
Ainsi la fonction C passera en dessous de 10 % de la concentration initiale pour une valeur de t assez grande. On cherche à déterminer cette valeur.
On calcule d'abord 10 % de 100 :
\dfrac{10}{100} \times 100=10
Sur le graphique, les concentrations sont indiquées sur l'axe des ordonnées et le temps mesuré après l'injection sur l'axe des abscisses. On représente la droite d'équation y=10 et on cherche le point d'intersection de la droite avec la courbe représentant C.
On lit l'abscisse du point d'intersection : elle est environ égale à 10,3.
La concentration du médicament dans le sang du patient ne sera plus que 10 % de la concentration initiale au bout de 10,3 heures.
Un compte épargne est ouvert avec un capital initial de 10 000 €.
La banque applique un taux d'intérêt de 4 % par an, capitalisé en continu.
On admet que le capital du compte, en euros, est modélisé par la fonction C(t)=10\ 000 \times 1{,}04^{t} où t représente le temps exprimé en années écoulé après l'ouverture du compte.
On donne sa représentation graphique :
D'après ce graphique, au bout de combien de temps, arrondi au mois entier, le compte épargne contiendra-t-il plus de 12 000 € ?
La fonction C est le produit du réel positif 10 000 par une fonction exponentielle de base a=1{,}04.
On sait que si 1 \lt a, la fonction exponentielle de base a passe au-dessus de n'importe quel seuil A\gt0 pour x assez grand.
Ainsi la fonction C passera au-dessus de 12 000 € pour une valeur de t assez grande. On cherche à déterminer cette valeur.
Sur le graphique, la somme contenue dans le compte épargne est représentée sur l'axe des ordonnées et le temps après l'ouverture du compte sur l'axe des abscisses.
On représente la droite d'équation y=12\ 000 et on cherche le point d'intersection de la droite avec la courbe représentant C.
On lit l'abscisse du point d'intersection : elle est comprise entre 4,6 et 4,7.
Or on a :
0{,}6\ \text {an} = 0{,}6\times 12 \ \text{mois}=7{,}2 \ \text{mois}
0{,}7\ \text {an} = 0{,}7\times 12 \ \text{mois}=8{,}4 \ \text{mois}
La somme placée sur le livret d'épargne sera donc strictement supérieure à 12 000 € au bout de 4 ans et 8 mois.
La somme contenue dans le livret d'épargne sera strictement supérieure à 12 000 € après 4 ans et 8 mois.
Une population de lapins dans une réserve naturelle est estimée à 200 individus en 2025.
Elle croît continuellement à un rythme de 6 % par an.
On admet que l'effectif de cette population est modélisé par la fonction P(t)=200 \times 1{,}06^{t} où t est le nombre d'années écoulées depuis 2025.
On donne sa représentation graphique :
D'après ce graphique, en quelle année la population de lapins dans la réserve aura-t-elle augmenté de plus de 50 % ?
La fonction P est le produit du réel positif 200 par une fonction exponentielle de base a=1{,}06.
On sait que si 1\lt a, la fonction exponentielle de base a passe au-dessus de n'importe quel seuil A\gt0 pour x assez grand.
Ainsi la fonction P passera au-dessus d'un certain effectif pour une valeur de t assez grande. On cherche à déterminer cette valeur.
On calcule d'abord l'effectif de la population initiale augmentée de 50 % :
200\times (1+\dfrac{50}{100}) =200\times 1{,}5=300
Sur le graphique, l'effectif des lapins est indiqué sur l'axe des ordonnées et le temps écoulé après 2025 sur l'axe des abscisses. On représente la droite d'équation y=300 et on cherche le point d'intersection de la droite avec la courbe représentant P.
On lit l'abscisse du point d'intersection : elle est environ égale à 7.
L'année correspondante à ce seuil est 2025+7= 2032.
La population de lapins dans la réserve aura augmenté de plus de 50 % en 2032.
Un café est servi à 80 °C dans une pièce à 20 °C. Sa température décroît de façon exponentielle.
On admet que la température du café en degrés Celsius est modélisée par la fonction T(x)=20+60\times 0{,}9^{x} où x est le temps exprimé en minutes après le service.
On donne sa représentation graphique :
D'après ce graphique, au bout de combien de temps la température du café sera-t-elle inférieure à 50 °C ?
La fonction T est la somme d'un nombre positif et du produit du réel positif 60 par une fonction exponentielle de base a=0{,}9.
On sait que si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A\gt0 pour x assez grand.
Ainsi la fonction T passera en dessous de 50 pour une valeur de x assez grande. On cherche à déterminer cette valeur.
Sur le graphique, les températures sont indiquées sur l'axe des ordonnées et le temps mesuré après le service sur l'axe des abscisses.
On représente la droite d'équation y=50 et on cherche le point d'intersection de la droite avec la courbe représentant T.
On lit l'abscisse du point d'intersection : elle est environ égale à 6,6.
Or 6{,}6\ \text {min} = 6\ \text {min}+0{,}6\times 60 \ \text{s}=6 \ \text{min} \ 36 \ \text{s}.
La température du café sera inférieure à 50 °C au bout de 6 min 36 s.
Un Smartphone acheté neuf vaut 1 000 €. Sa valeur décroît de manière exponentielle.
On admet que la valeur du Smartphone, en euros, est modélisée par la fonction V(t)=1\ 000 \times 0{,}78^{t} où t est le temps exprimé en années après l'achat.
On donne sa représentation graphique :
D'après ce graphique, au bout de combien le Smartphone aura-t-il une valeur inférieure à 20 % de sa valeur initiale ?
La fonction V est le produit du réel positif 1 000 par une fonction exponentielle de base a=0{,}78.
On sait que si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A\gt0 pour x assez grand.
Ainsi la fonction V passera en dessous de 20 % de sa valeur initiale pour une valeur de t assez grande. On cherche à déterminer cette valeur.
On calcule d'abord 20 % de 1 000 :
\dfrac{20}{100} \times 1\ 000=200
Sur le graphique, la valeur du téléphone est indiquée sur l'axe des ordonnées et le temps mesuré après son achat sur l'axe des abscisses.
On représente la droite d'équation y=200 et on cherche le point d'intersection de la droite avec la courbe représentant V.
On lit l'abscisse du point d'intersection : elle est environ égale à 6,5.
La valeur du Smartphone sera inférieure à 10 % de sa valeur initiale au bout de 6,5 ans.