Une chaîne sur une plateforme de vidéos en ligne comptait 10 000 abonnés en janvier 2024. Chaque mois, cette chaîne perd 8 % de ses abonnés.
Soit n un entier naturel. On note u_{n} le nombre d'abonnés de cette chaîne n mois après janvier 2024. En particulier, u_{0} est le nombre d'abonnés initial.
Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_{n}) ?
Soit n un entier naturel.
- u_{n} est le nombre d'abonnés de cette chaîne n mois après janvier 2024.
- u_{n+1} est le nombre d'abonnés de cette chaîne (n+1) mois après janvier 2024.
Or on sait que, tous les mois, la chaîne perd 8 % d'abonnés. Cela signifie que le nombre d'abonnés est multiplié par le coefficient (1-\dfrac{8}{100}) d'un mois donné au suivant.
Ainsi, on a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=(1-\dfrac{8}{100})\ u_{n}
u_{n+1}=0{,}92\ u_{n}
Pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}92\ u_{n}.
Quelle est la formule explicite vérifiée par la suite u ?
n mois après janvier 2024, le nombre d'abonnés de la chaîne est donné par la suite géométrique u de raison 0,92 et de premier terme 10 000.
Or on sait que :
Si (u_{n}) est une suite géométrique de raison q, définie pour n≥0, alors la définition explicite de (u_{n}) est :
Pour tout n∈\mathbb{N} , u_{n}=u_{0}\times q^{n}.
Ainsi, la formule explicite vérifiée par (u_{n}) est :
u_{n}=u_{0}\times q^{n}, avec u_{0}=10\ 000
La relation explicite vérifiée par la suite u est :
Pour tout entier naturel n, u_{n}=10\ 000\times0{,}92^{n}.
On veut représenter la suite (u_{n}) dans un repère orthogonal.
Quelle est l'allure de la représentation graphique de cette suite ?
On sait que pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}92\ u_{n}. La suite est donc une suite géométrique de raison q=0{,}92.
Les arguments pour identifier la bonne représentation sont les suivants :
- Une suite est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n,u_{n}).
- Cette suite a pour premier terme u_{0}=10\ 000.
- Cette suite représente un nombre d'abonnés, donc les termes de la suite sont tous positifs.
- Cette suite est géométrique et positive, et sa raison vérifie 0 \lt q \lt 1, donc elle est décroissante.
L'allure de la représentation graphique de la suite (u_{n}) est donc :
On donne la représentation graphique de la suite (u_{n}).
Quelle est la valeur, approchée à la centaine, du nombre d'abonnés de la chaîne en janvier 2025 ?
En janvier 2025, 12 mois se sont écoulés depuis janvier 2024.
On cherche donc la valeur approchée de u_{12}.
On se place donc sur l'axe des abscisses à 12 et on va lire l'ordonnée du point d'abscisse 12 appartenant au nuage de points.
On lit :
u_{12}\approx 3\ 700
En janvier 2025, il y aura environ 3 700 abonnés sur la chaîne.
On donne la représentation graphique de la suite (u_{n}).
Le propriétaire de la chaîne de vidéos en ligne a décidé de l'arrêter dès qu'elle aura perdu la moitié de ses abonnés initiaux.
Quand la chaîne sera-t-elle arrêtée ?
On sait que la suite (u_{n}) est géométrique et décroissante. On en déduit qu'elle passe en dessous de n'importe quel seuil A\gt0 à partir d'un certain rang.
Ainsi, il existe un rang k tel que pour tout entier n supérieur à k, u_{n}\leqslant5\ 000.
Graphiquement, on repère sur l'axe des ordonnées la valeur 5 000. On peut matérialiser la droite d'équation y=5\ 000. On cherche le premier point qui est placé sous cette droite.
On lit que la plus petite valeur de n telle que u_{n}\leqslant5\ 000 est 9.
La chaîne sera donc arrêtée le 9e mois après janvier 2024.
La chaîne sera arrêtée en octobre 2024.