Soit (u_n) la suite géométrique définie par :
\begin{cases} u_0 =4 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}
Avec f la fonction définie par :
f : x \longmapsto 12x
Quels sont les deux premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est définie par :
\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 12u_n \end{cases}
On connaît directement le premier terme de (u_n) :
u_0=4
De plus, on sait que :
u_1=12u_0
Donc :
u_1=12\times 4 =48
Les deux premiers termes de la suite (u_n) sont donc : u_0 = 4 et u_1=48.
Quelle est la forme explicite des termes de la suite (u_n) ?
La forme explicite d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 est donnée par la formule suivante :
\forall n\in\mathbb{N}, u_n = u_0 \times q^n
On sait que u_0=4.
De plus, une suite géométrique de raison q est une suite géométrique qui vérifie :
\forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1} = qu_n
Or, on sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=12u_n
Donc (u_n) est une suite géométrique de raison q=12.
La forme explicite des termes de la suite (u_n) est donc : \forall n \in \mathbb{N},u_n = 4\times 12^n.
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite géométrique de raison q=12 et de premier terme u_0=4.
u_0 est positif donc (u_n) a le même sens de variation que la suite (q^n).
q est strictement supérieur à 1.
La suite (u_n) est donc croissante.
Quelle est la somme des 6 premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0=4 et de raison q=12.
Or, pour une telle suite, on a :
\sum_{0}^{n}u_k=u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
Ici, on a n=5 car on cherche la somme des 6 premiers termes de la suite.
Donc :
\sum_{0}^{5}u_k=4 \frac{1-12^{5+1}}{1-12} =4 \frac{1-12^{6}}{1-12}
La somme des 6 premiers termes de la suite (u_n) est donc 1 085 812.