Soit la suite géométrique (u_n) définie par :
\begin{cases} u_0=-3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = -2u_n \end{cases}
On souhaite écrire un algorithme en Python qui, pour n donné, renvoie la valeur de u_n.
Quels sont les deux premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est définie par :
\begin{cases} u_0=-3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = -2u_n \end{cases}
On connaît directement le premier terme de (u_n) :
u_0=-3
De plus, on sait que :
u_1=-2u_0
Donc :
u_1=-2\times (-3) = 6
Les deux premiers termes de la suite (u_n) sont donc : u_0 = -3 et u_1=6.
Quelle est la raison r de la suite géométrique (u_n) ?
La suite (u_n) est définie par :
\begin{cases} u_0=-3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = -2u_n \end{cases}
Une suite géométrique est une suite qui, pour tout entier n, vérifie u_{n+1}= u_n\times q.
Or, d'après la définition de la suite (u_n) :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = -2u_n
Donc, pour tout entier n, la suite (u_n) vérifie u_{n+1}= u_n \times q avec q=-2.
La raison de la suite (u_n) est donc q=-2.
Quelle est la formule explicite des termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est la suite géométrique de premier terme u_0 = -3 et de raison q=-2.
Or, on sait qu'une suite géométrique (u_n) de premier terme u_0 et de raison q a pour formule explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = u_0 q^n
La suite (u_n) a donc pour formule explicite : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = (-3)\times(-2)^n .
Quelle est la fonction écrite en Python qui à n associe u_n ?
Chaque terme de la suite (u_n) est défini de manière explicite par la formule suivante :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = -3\times(-2)^n
Il faut donc définir une fonction qui prend comme argument n et qui renvoie -3\times(-2)^n.
De plus, il faut vérifier que n est bien un entier positif sinon il faut préciser à l'utilisateur que la fonction n'est valide que pour les entiers positifs.
L'algorithme écrit en Python qui définit une fonction qui à n associe le terme u_n est donc :
def u(n):
if (type(n)==int) and (n>=0):
return -3*(-2)**n
else :
print("n doit être un entier positif")