Avant de commander une collation dans un bar, les clients doivent choisir entre :
- Deux boissons : vin ou Porto ;
- Deux intensités : rude ou soft.
Selon le responsable du magasin :
- 30% des clients optent pour du vin.
- 81% des clients prenant du vin ne le choisissent pas rude.
- 40% des clients prenant du Porto choisissent le rude.
Soient les événements suivants :
V : "Le client choisit du vin"
R : "Le client choisit du rude"
Présenter les données de l'énoncé sur un arbre pondéré.
D'après l'énoncé, on sait que :
- p\left(V\right)=0{,}3
- p_{V}\left(\overline{R}\right)=0{,}81
- p_{\overline{V}}\left(R\right)=0{,}4
On peut donc construire l'arbre pondéré représentant la situation :
Un client souhaite commander un verre : quelle est la probabilité qu'il choisisse du vin rude ?
On cherche p\left( V\cap R \right).
Or, on sait que :
p\left( V\cap R \right)=p\left( V \right)\times p_{V}\left(R \right)
D'après l'arbre pondéré, on a :
- p\left( V \right)=0{,}3
- p_{V}\left(R \right)=0{,}19
D'où finalement :
p\left( V\cap R \right)=0{,}3\times0{,}19=0{,}057
La probabilité qu'un client choisisse du vin rude est égale à 0,057.
Un client souhaite commander un verre : quelle est la probabilité qu'il en choisisse une boisson rude ?
On cherche p\left(R\right).
Les événements V et \overline{V} forment une partition de l'univers. Donc d'après la formule des probabilités totales, on a :
p\left(R\right)=p\left(R\cap\overline{V} \right)+p\left(R \cap V\right)
p\left(R\right)=p\left(\overline{V}\right)\times p_{\overline{V}}\left(R \right)+p\left(V\right)\times p_{V}\left(R \right)
Et, d'après les données de l'arbre pondéré :
p\left(R\right)=0{,}7\times0{,}4+0{,}3\times0{,}19
p\left(R\right)=0{,}337
La probabilité qu'un client choisisse une boisson rude est égale à 0,337.
Le client choisit une boisson rude, quelle est la probabilité qu'il ait opté pour du vin ?
On cherche p_R\left( V\right).
Or on a :
p_R\left( V \right)=\dfrac{p\left( R\cap V \right)}{p\left(R\right)}
Et, d'après les résultats des questions précédentes :
p_R\left( V\right)=\dfrac{0{,}057}{0{,}337}\approx0{,}169
Sachant que le client a pris une boisson rude, la probabilité que ce soit du vin est d'environ 0,169.