On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -x+y -8= 0
\left(d'\right) \; : \; x+y +4= 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont orthogonaux, alors les deux droites sont perpendiculaires.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait qu'une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation -x+y -8= 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
De même, \left(d'\right) a pour équation : x+y+4= 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr1 \end{pmatrix}.
Étude de l'orthogonalité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
On cherche donc à calculer le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}.
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Ici, on a :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 1\cr\cr 1\end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'} =-1\times 1 +1\times 1= -1+1 = 0
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc orthogonaux.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; 4x-6y -1 = 0
\left(d'\right) \; : \; 3x+2y +3 = 0
Que peut-on dire sur les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ?
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -x+7y +1 = 0
\left(d'\right) \; : \; 14x+2y +13 = 0
Que peut-on dire sur les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ?
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -2x+3y -3 = 0
\left(d'\right) \; : \; 14x-21y +13 = 0
Que peut-on dire sur les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ?
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -17x+4y -3 = 0
\left(d'\right) \; : \; 13x-3y +13 = 0
Que peut-on dire sur les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ?
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -6x+12y -3 = 0
\left(d'\right) \; : \; 2x-4y +1 = 0
Que peut-on dire sur les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ?