Soit k un réel et f la fonction définie sur \left[ 0;1 \right] par :
f\left(x\right)=x^2+k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto x^2+k est continue sur \left[ 0;1 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto x^2+k sur \left[ 0;1 \right] est x \longmapsto \dfrac{x^3}{3}+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} \left( x^2+k\right)\ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^3}{3}+kx \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx= \left( \dfrac{1^3}{3}+k \right)- 0
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = \dfrac{1}{3}+k
Donc, \int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si \dfrac{1}{3}+k=1 soit k=\dfrac{2}{3}.
Signe de f
Posons alors k=\dfrac{2}{3}.
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ 0;1 \right], f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{3}.
On a bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 0;1 \right].
Si k=\dfrac{2}{3}, f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left(X\leqslant\dfrac{1}{2}\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ 0;1 \right], et, pour tout x appartenant à \left[ 0;1 \right] :
f\left(x\right)=x^2+\dfrac{2}{3}.
Ainsi :
p\left( X\leq\dfrac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(x^2+\dfrac{2}{3}\right) \ \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto x^2+\dfrac{2}{3} sur \left[ 0;1 \right] est x \longmapsto \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x}{3} :
p\left( X\leq\dfrac{1}{2}\right)=\left[ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}}
p\left( X\leq\dfrac{1}{2}\right)= \left( \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}{3}+\dfrac{2\times\dfrac{1}{2}}{3} \right)-0
p\left( X\leq\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{24}+\dfrac{8}{24}=\dfrac{9}{24}
On peut donc conclure :
p\left(X\leqslant\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{3}{8}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} x\left( x^2+\dfrac{2}{3} \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} \left( x^3+\dfrac{2x}{3}\right) \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto x^3+\dfrac{2x}{3} sur \left[ 0;1 \right] étant x \longmapsto \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{3} :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{3}\right]_{0}^{1}
E\left(X\right)=\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{3}{12} +\dfrac{4}{12}
On peut alors conclure :
E\left(X\right)= \dfrac{7}{12}