On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{1}{n^2+2}
La suite \left(u_n\right) est-elle bornée ?
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \left(-2\right)^n
La suite \left(u_n\right) est-elle bornée ?
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= 4+\dfrac{3}{2+n^3}
La suite \left(u_n\right) est-elle bornée ?
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= -\dfrac{1}{2^n}-n-1
La suite \left(u_n\right) est-elle bornée ?
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n= -\dfrac{2}{n}+8
La suite \left(u_n\right) est-elle bornée ?
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Quelle proposition montre que \left(u_n\right) est bornée ?
\left(u_n\right) est bornée si et seulement si \left(u_n\right) est majorée et minorée, c'est-à-dire si et seulement s'il existe deux réels m et M tels que :
\forall n \in \mathbb{N}, m\leqslant u_n\leqslant M
Montrons que \left(u_n\right) est minorée
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Or on sait que :
- \forall n \in \mathbb{N}, e^n\gt0
Ainsi, \forall n \in \mathbb{N}, u_n\gt0
La suite \left(u_n\right) est donc minorée par 0.
Montrons que \left(u_n\right) est majorée
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Or on sait que :
\forall n \in \mathbb{N},e^n \gt 1
\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{e^n}\lt1
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\lt4
Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par 4.
La suite \left(u_n\right) est bornée.
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= -4+\left(-1\right)^n
Quelle proposition montre que \left(u_n\right) est minorée par -5 et majorée par -3 ?
\left(u_n\right) est bornée si et seulement si \left(u_n\right) est majorée et minorée, c'est-à-dire si et seulement s'il existe deux réels m et M tels que :
\forall n \in \mathbb{N}, m\leqslant u_n\leqslant M
Montrons que \left(u_n\right) est minorée
Afin de montrer que \left(u_n\right) est minorée par -5, on montre que \forall n \in\mathbb{N},u_n\geqslant-5, c'est-à-dire que :
\forall n \in\mathbb{N},u_n+5\geqslant0
Or on a :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n+5= \left(-1\right)^n+1
On sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, \left(-1\right)^n\geqslant-1
\forall n \in \mathbb{N}, \left(-1\right)^n+1\geqslant0
\forall n \in \mathbb{N}, u_n +5\geqslant0
La suite \left(u_n\right) est donc minorée par -5.
Montrons que \left(u_n\right) est majorée
Afin de montrer que \left(u_n\right) est majorée par -3, on montre que \forall n \in\mathbb{N},u_n\leqslant-3, c'est-à-dire que :
\forall n \in\mathbb{N},u_n+3\leqslant0
Or on a :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= -4+\left(-1\right)^n
\forall n \in \mathbb{N}, u_n +3 = \left(-1\right)^n-1
On sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, \left(-1\right)^n \leqslant 1
\forall n \in \mathbb{N}, \left(-1\right)^n -1 \leqslant0
\forall n \in \mathbb{N}, u_n+3\leqslant0
Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par -3.
La suite \left(u_n\right) est minorée par -5 et majorée par -3, donc elle est bornée.
On donne la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Quelle proposition montre que \left(u_n\right) est bornée ?
\left(u_n\right) est bornée si et seulement si \left(u_n\right) est majorée et minorée, c'est-à-dire si et seulement s'il existe deux réels m et M tels que :
\forall n \in \mathbb{N}, m\leqslant u_n\leqslant M
Montrons que \left(u_n\right) est minorée
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Or on sait que :
- \forall n \in \mathbb{N}, e^n\gt0
Ainsi, \forall n \in \mathbb{N}, u_n\gt0
La suite \left(u_n\right) est donc minorée par 0.
Montrons que \left(u_n\right) est majorée
\forall n \in \mathbb{N}, u_n= \dfrac{4}{e^n}
Or on sait que :
\forall n \in \mathbb{N},e^n \gt 1
\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{e^n}\lt1
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\lt4
Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par 4.
La suite \left(u_n\right) est bornée.