Montrer qu'une suite est bornée Exercice

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle n'est ni majorée ni minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 0 et majorée par 1.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle est minorée par 0 mais n'est pas majorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 1 et majorée par 2.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle n'est ni majorée ni minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par −2 et majorée par 2.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle est minorée par −2 mais n'est pas majorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 1 et majorée par 4.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle n'est ni majorée ni minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 4 et majorée par 7.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle est minorée par 4 mais n'est pas majorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 4 et majorée par 5.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle n'est ni majorée ni minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par −2 et majorée par −1.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle est majorée par −1 mais n'est pas minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par -n et majorée par −1.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle n'est ni majorée ni minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 6 et majorée par 8.

Non, \left(u_n\right) n'est pas bornée car elle est majorée par 8 mais n'est pas minorée.

Oui, \left(u_n\right) est bornée car elle est minorée par 8 et majorée par 10.

\forall n\in\mathbb{N}, e^n \gt 0 et 4 \gt 0, on a alors \dfrac{4}{e^n} \gt 0 d'où u_{n} \gt 0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

D'autre part on a \forall n\in\mathbb{N}, e^n \geqslant1, ainsi \dfrac{4}{e^n}\leqslant4 et ainsi u_{n} \leqslant 4. Donc la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 4.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée et majorée. Elle est donc bornée.

\forall n\in\mathbb{N}, e^n \gt 0 et 4 \gt 0, on a alors \dfrac{4}{e^n} \lt 0 d'où u_{n} \lt 0 et la suite \left(u_{n}\right) est majorée par 0.

D'autre part on a \forall n\in\mathbb{N}, e^n \geqslant1, ainsi \dfrac{4}{e^n}\geqslant4 et ainsi u_{n}\geqslant4. Donc la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 4.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée et majorée. Elle est donc bornée.

\forall n\in\mathbb{N}, e^n \gt 0 et 4 \gt 0, on a alors \dfrac{4}{e^n} \gt 0 d'où u_{n} \gt 0 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 0.

D'autre part on a \forall n\in\mathbb{N}, e^n \geqslant1, ainsi \dfrac{4}{e^n}\geqslant4 et ainsi u_{n}\geqslant4. Donc la suite \left(u_{n}\right) est minorée par 4.

Conclusion: la suite \left(u_{n}\right) est minorée . Elle n'est donc pas bornée.

\forall n\in\mathbb{N}, −1 \leqslant\left(-1\right)^n\leqslant1, ainsi -4-1\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-4+1 soit encore -5\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-3.

D'où \forall n\in\mathbb{N}, -5\leqslant u_{n} \leqslant-3 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par −5 et majorée par −3. Elle est donc bornée.

\forall n\in\mathbb{N}, 0 \leqslant\left(-1\right)^n\leqslant1, ainsi -4\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-4+1 soit encore -4\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-3.

D'où \forall n\in\mathbb{N}, -4\leqslant u_{n} \leqslant-3 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par −4 et majorée par −3. Elle est donc bornée.

\forall n\in\mathbb{N}, −1 \leqslant\left(-1\right)^n\leqslant0, ainsi -4-1\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-4 soit encore -5\leqslant-4+\left(-1\right)^n\leqslant-4.

D'où \forall n\in\mathbb{N}, -5\leqslant u_{n} \leqslant-4 et la suite \left(u_{n}\right) est minorée par −5 et majorée par −4. Elle est donc bornée.

La suite \left(u_n\right) est bornée.