Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion Exercice

Un agriculteur cultive des laitues. Ils considèrent que 85% de ses laitues sont de taille suffisante à maturité pour être vendues.

Dans un lot de 1000 laitues arrivées à maturité, l'agriculteur constate que 810 sont de taille suffisante.

On peut assimiler le choix d'un échantillon de 1000 laitues dans la production à un tirage avec remise.

Supposons que l'agriculteur ait raison.

Notons X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 1000 laitues le nombre de laitues de taille suffisante.

Quelle est la loi de X ?

X suit une loi binomiale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}85.

X suit une loi normale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}85.

X suit une loi binomiale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}15.

X suit une loi normale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}15.

On souhaite valider ou rejeter l'affirmation de l'agriculteur.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des laitues de taille suffisante sur un échantillon de 1000 laitues ?

n=1\ 000, donc n\geq30
np = 1\ 000\times 0{,}85= 850, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}85\right)= 150, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=[0,827;0,873]

n=1\ 000, donc n\geq30
np = 1\ 000\times 0{,}85= 850, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}85\right)= 150, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}857;0{,}933\right]

n=1\ 000, donc n\geq30
np = 1\ 000\times 0{,}85= 850, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}85\right)= 150, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=\left[0{,}457;0{,}613\right]

n=1\ 000, donc n\geq30
np = 1\ 000\times 0{,}85= 850, donc np\geq 5
n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}85\right)= 150, donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.

I=[0,657;0,783]

Peut-on affirmer que l'agriculteur a raison ?

Au risque d'erreur de 5%, on peut affirmer que l'agriculteur a tort.

Au risque d'erreur de 5%, on peut affirmer que l'agriculteur a raison.

Au risque d'erreur de 5%, on ne peut pas conclure.