On considère le triangle ABC tel que :
- \widehat{BAC} = 30°
- AB = 3
- AC = 10
D'après la relation d'Al-Kashi, quelle est la valeur de BC^2 ?
Dans le triangle ABC, on sait que AB=3, AC=10 et que l'angle \widehat{BAC}=30^\circ.
D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :
BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)\\BC^2=3^2+10^2-2\times3\times10\times\cos\left(30^\circ\right)\\BC^2=109-60\cos\left(30^\circ\right)\\BC^2=109-60\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\
BC^2=109-30\sqrt{3}
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA} ?
D''après le théorème d'Al-Kashi, on obtient une autre relation :
AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times \cos\left(\widehat{BCA}\right)\\
Donc :
AB^2-BC^2-AC^2=-2\times BC\times AC\times \cos\left(\widehat{BCA}\right)
Or :
\quad\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=BC\times AC\times \cos\left(\widehat{BCA}\right)
Donc :
AC^2-BC^2-AB^2=-2\times\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}
Donc :
\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=\cfrac{-AB^2+BC^2+AC^2}{2}
Donc :
\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=\cfrac{-3^2+109-30\sqrt{3}+10^2}{2}=\cfrac{-9+109-30\sqrt{3}+100}{2}=\cfrac{200-30\sqrt{3}}{2}=100-15\sqrt{3}
\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=100-15\sqrt{3}