Etudier deux suites imbriquées Problème

u_1=\cfrac{14}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{10}{3}

u_1=\cfrac{4}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{1}{3}

u_1=\cfrac{-2}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{-4}{3}

u_1=\cfrac{-7}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{-5}{3}

On a w_{0}=3+5=8 et w_{1}=\dfrac{14}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{24}{3}=8 alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=8

On a w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{u_n+5v_n}{6}+\dfrac{5u_n+v_n}{6}=\dfrac{6u_n+6v_n}{6}=u_n+v_n=w_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=8

On a w_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+5v_n}{6}-\dfrac{5u_n+v_n}{6}=\dfrac{-6u_n+6v_n}{6}=-u_n+v_n=w_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=-\dfrac{4}{3}

On a w_{0}=3-5=-2 et w_{1}=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{-4}{3} alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=\dfrac{-4}{3}

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = -\dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2\left(- \dfrac{2}{3} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2\left( \dfrac{2}{3} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = -\dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2+\left(- \dfrac{2}{3} \right)n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2+\left(\dfrac{2}{3} \right)n, pour tout n\in \mathbb{N}.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4+\left(\cfrac{2}{3}\right)^n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)n\text{ et } v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n.