Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone utilisé pour effectuer des datations. L'unique mode de désintégration de cet isotope est l'émission d'un électron en se transmutant en azote 14. La temps de demi-vie d'un noyau de carbone 14 est d'environ 5 700 ans.
Quel est le type de désintégration du carbone 14 ?
Le carbone 14 se désintègre en émettant un électron : c'est donc une désintégration \beta^-.
Il s'agit d'une désintégration \beta^-.
Quelle est l'équation de désintégration du carbone 14 ?
Une désintégration \beta^- a pour équation générale :
\ce{^{A}_{Z}X} \longrightarrow \ce{^{A}_{Z + 1}Y}^* + \ce{^{0}_{-1}e}
On déduit l'équation de désintégration du carbone 14 :
\ce{^{14}_{6}C} \longrightarrow \ce{^{14}_{7}N}^* + \ce{^{0}_{-1}e}
L'équation de désintégration du carbone 14 est :
\ce{^{14}_{6}C} \longrightarrow \ce{^{14}_{7}N}^* + \ce{^{0}_{-1}e}
On cherche à dater un fossile. À sa mort, l'espèce fossilisée contenait 1{,}25\ \mu\text{g} de carbone 14.
Combien de noyaux de carbone 14 contenait ce fossile ?
Données :
- La constante d'Avogadro : N_A=6{,}02.10^{23} \text{ mol}^{-1}
- La masse molaire du carbone 14 : M=14{,}0\text{ g.mol}^{-1}
Le nombre de noyaux N contenu dans un échantillon peut être exprimé en fonction de la masse de l'échantillon m (en g) et de la masse d'un noyau m_0 :
N=\dfrac{m}{m_0}
La masse d'un noyau peut également s'exprimer en fonction de la masse molaire et de la constante d'Avogadro :
m_0=\dfrac{M}{N_A}
D'où la relation :
N=\dfrac{m \times N_A}{M}
Ici, il faut convertir la masse en grammes :
1{,}25\ \mu\text{g}=1{,}25.10^{-6} \text{ g}
D'où l'application numérique :
N=\dfrac{1{,}25.10^{-6} \times 6{,}02.10^{23}}{14{,}0}
N=5{,}38.10^{16}
Le nombre de noyaux de carbone 14 dans ce fossile était de 5{,}38.10^{16}.
Lors de sa découverte, l'activité de ce fossile était de 52,3 kBq.
Combien de noyaux de carbone 14 ce fossile contenait-il lors de sa découverte ?
L'activité radioactive A d'un échantillon est proportionnelle au nombre de radionucléides N qu'il contient :
A_{\text{(Bq)}} = \lambda_{\text{(s}^{-1})} \times N
Avec \lambda la constante radioactive du radionucléide considéré.
D'où la relation :
N=\dfrac{A}{\lambda}
Le temps de demi-vie t_{1/2} et la constante radioactive \lambda d'un radionucléide sont liés par la relation suivante :
t_{1/2 \text{ (s)}} = \dfrac{ln(2)}{\lambda_{\text{ (s}^{-1})}}
D'où la relation :
\lambda = \dfrac{ln(2)}{t_{1/2}}
En combinant les deux relations, on obtient :
N=\dfrac{A \times t_{1/2}}{ln(2)}
Ici, il faut convertir le temps de demi-vie et l'activité :
- 5\ 700 \text{ ans}= 5\ 700 \times 365 \times 24 \times 3\ 600 \text{ s}
- 52{,}3 \text{ kBq}=52{,}3.10^3 \text{ Bq}
D'où l'application numérique :
N=\dfrac{52{,}3.10^3 \times 5\ 700 \times 365 \times 24 \times 3\ 600}{ln(2)}
N=1{,}36.10^{16}
Le nombre de noyaux de carbone 14 à le découverte du fossile est de 1{,}36.10^{16}.
Quel est l'âge de ce fossile ?
Données :
- ln(ab)=ln(a)+ln(b)
- ln(a/b)=ln(a)-ln(b)
- ln(e^x)=x
La population de noyaux radioactifs dans un échantillon diminue de manière exponentielle. Si l'échantillon contient initialement N_0 noyaux, alors, à une date t, le nombre de noyaux restant est :
N_{(t)} = N_0\times e^{-\lambda\times t}
Avec \lambda la constante radioactive du radionucléide considéré.
On peut exprimer la date en passant au logarithme népérien :
ln(N_{(t)}) = ln(N_0\times e^{-\lambda\times t})
ln(N_{(t)}) = ln(N_0) + ln( e^{-\lambda\times t})
ln(N_{(t)}) = ln(N_0) -\lambda\times t
D'où la relation :
t = \dfrac{ ln(N_0) - ln(N_{(t)}) }{\lambda}
Le temps de demi-vie t_{1/2} et la constante radioactive \lambda d'un radionucléide sont liés par la relation suivante :
t_{1/2} = \dfrac{ln(2)}{\lambda}
D'où la relation :
\lambda = \dfrac{ln(2)}{t_{1/2}}
On déduit donc l'expression pour la date :
t = \dfrac{ ln(N_0) - ln(N_{(t)}) }{ln(2)} \times t_{1/2}
t = \dfrac{ ln(N_0/N_{(t)}) }{ln(2)} \times t_{1/2}
D'où l'application numérique :
t = \dfrac{ ln(5{,}38.10^{16}/1{,}36.10^{16}) }{ln(2)} \times 5\ 700
t=1{,}13.10^4 \text{ ans}
L'âge de ce fossile est de 1{,}13.10^4 \text{ ans}.