Sommaire
1Rappeler les propriétés du phénomène de désintégration radioactive 2En déduire l'expression de la variation du nombre de radionucléides en fonction du temps 3Obtenir l'expression de dN 4Établir l'équation différentielleLe nombre de noyaux radioactifs restant dans un échantillon à un instant t vérifie une équation différentielle que l'on peut établir en sachant que la probabilité qu'un noyau se désintègre chaque seconde est égale à la constante radioactive de l'élément considéré \lambda.
On considère un échantillon contenant N radionucléides. La constante radioactive de l'élément considéré étant \lambda, établir l'équation différentielle donnant le nombre de radionucléides en fonction du temps.
Rappeler les propriétés du phénomène de désintégration radioactive
On rappelle les propriétés du phénomène de désintégration radioactive.
Le phénomène de désintégration radioactive est un phénomène aléatoire mais la probabilité qu'un noyau se désintègre chaque seconde est égale à la constante radioactive de l'élément considéré : \lambda. Dans un échantillon, le nombre de noyaux qui se désintègrent \Delta N pendant un petit intervalle de temps \Delta t est donc proportionnel à la constante radioactive \lambda, au nombre de noyaux présents N et à la durée \Delta t.
En déduire l'expression de la variation du nombre de radionucléides en fonction du temps
On en déduit l'expression de la variation du nombre de radionucléides en fonction du temps.
Dans l'échantillon, le nombre de noyaux qui se désintègrent \Delta N pendant un petit intervalle de temps \Delta t étant proportionnel à la constante radioactive \lambda, au nombre de noyaux présents N et à la durée \Delta t, on a :
\Delta N = -\lambda \times N \times \Delta t
Le signe « - » venant du fait que le nombre N diminue au cours du temps. De ce fait, la variation du nombre de noyaux en fonction du temps est négative.
On peut partir de l'équation de la courbe de désintégration N(t) = \ce{N_{0}}e^{-\lambda t}
L'expression de la variation du nombre de nucléotides en fonction du temps est la dérivée de l'équation de la courbe de désintégration.
On obtient donc : \Delta N = -\lambda \times N \times \Delta t
Obtenir l'expression de dN
On obtient l'expression de dN en faisant tendre \Delta t vers 0.
Si on fait tendre \Delta t vers 0 :
- la variation \Delta N tend vers dN ;
-
la durée \Delta t tend vers dt ;
On a donc :
dN = - \lambda \times N \times dt
Établir l'équation différentielle
On établit l'équation différentielle donnant le nombre de radionucléides en fonction du temps, qui correspond à l'expression de la grandeur \dfrac{dN}{dt}.
Puisque :
dN = - \lambda \times N \times dt
L'équation différentielle donnant le nombre de radionucléides en fonction du temps est :
\dfrac{dN}{dt} = - \lambda \times N