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Dernière modification : 30/11/2018 - Conforme au programme 2018-2019
Les vecteurs directeurs d'une droite
Définition
Vecteur directeur
Soient A et B deux points distincts du plan. Un vecteur non nul \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Les propriétés
Nombre de vecteurs directeurs
Toute droite admet un nombre infini de vecteurs directeurs.
Unicité d'une droite passant par deux points
Soient A et B deux points distincts du plan.
Il existe une et une seule droite passant par les points A et B.
Unicité d'une droite passant par un point fixé, connaissant un vecteur directeur
Soient un point A et un vecteur non nul \overrightarrow{u}. Il existe une et une seule droite passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u}.
Vecteur directeur et coefficient directeur
Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur a. Un vecteur directeur de (d) est le vecteur :
\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr a \end{pmatrix}
La droite d'équation y=-2x-6 a pour coefficient directeur -2. Un vecteur directeur \overrightarrow{u} de cette droite a pour coordonnées \overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} 1 \cr- 2 \end{pmatrix}.
Les équations d'une droite
Le plan est rapporté à un repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right).
L'équation réduite
Equation réduite
Soit une droite D.
Si D est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), l'équation réduite de D est de la forme :
x = k
où k est un réel.
Sinon, l'équation réduite de D est de la forme :
y = mx + p
où le réel m est le coefficient directeur de D et le réel p est son ordonnée à l'origine.
Condition de parallélisme
Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Les droites (d) et (d'), d'équations respectives y=-2x+6 et y=-2x+\dfrac13, sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur -2.
Une équation cartésienne
Equation cartésienne
Soit une droite D. Une équation cartésienne de la droite D est une équation de la forme :
ax + by + c = 0
où a, b et c sont trois réels, a et b ne pouvant être tous les deux nuls (en même temps).
Un vecteur directeur de D est le vecteur :
\overrightarrow{u} \text{ } \begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix}
La droite d'équation cartésienne -x-5y+7=0 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr -1 \end{pmatrix}.
Soit D une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0.
- Si b = 0, la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées.
- Si b \neq 0, la droite D a pour coefficient directeur m=-\dfrac{a}{b}.
La droite d'équation cartésienne -x-5y+7=0 est une droite ayant pour coefficient directeur :
m=\dfrac{-\left(-1\right)}{-5}=-\dfrac15
Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes et une seule équation réduite.
La droite (d) a pour équation cartésienne :
3x-4y+1=0
En multipliant chaque membre par -4, on obtient une deuxième équation cartésienne :
-12x+16y-4=0
En revanche l'équation réduite de (d) est unique. En isolant y dans le membre de gauche, on obtient :
y=\dfrac34x+\dfrac14
Condition analytique du parallélisme
Les droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0.
Considérons les droites (d) et (d') d'équations respectives -4x+y-7=0 et x-\dfrac14y+15=0.
Calculons :
-4\times\left( -\dfrac14 \right)-1\times1=1-1=0
Par conséquent les droites (d) et (d') sont parallèles.