Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on considère les points :
A\left(-2;0\right), B\left(0;4\right) et C\left(3;-2\right)
On appelle A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] du triangle ABC.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la médiane issue du point A dans le triangle ABC ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(0;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Dans le triangle ABC, on sait d'après l'énoncé que le point A' est le milieu du segment \left[BC\right].
Donc la médiane issue du point A coupe le segment \left[BC\right] au point A'.
On cherche à présent une équation cartésienne de la droite \left(AA'\right).
Soit M\left(x;y\right)\in\left(AA'\right), les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AA'} sont donc colinéaires.
On cherche tout d'abord les coordonnées du point A'.
A'\left(\cfrac{x_B+x_C}{2};\cfrac{y_B+y_C}{2}\right), donc :
A'\left(\cfrac{3}{2};1\right)
On a donc :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+2 \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{AA'}\begin{pmatrix} \cfrac{7}{2} \cr\cr 1 \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
\left(x+2\right)\times 1- y\times\cfrac{7}{2}=0 \Leftrightarrow x-\cfrac{7}{2}y+2=0\Leftrightarrow 2x-7y+4=0
Une équation cartésienne de la médiane issue du point A dans le triangle ABC est 2x-7y+4=0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la médiane issue du point B dans le triangle ABC ?
Dans le triangle ABC, on sait d'après l'énoncé que le point B' est le milieu du segment \left[AC\right].
Donc la médiane issue du point B coupe le segment \left[AC\right] au point B'.
On cherche à présent une équation cartésienne de la droite \left(BB'\right).
Soit M\left(x;y\right)\in\left(BB'\right), les vecteurs \overrightarrow{BM} et \overrightarrow{BB'} sont donc colinéaires.
On cherche tout d'abord les coordonnées du point B'.
B'\left(\cfrac{x_A+x_C}{2};\cfrac{y_A+y_C}{2}\right), donc :
B'\left(\cfrac{1}{2};-1\right)
On a donc :
\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x \cr\cr y-4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BB'}\begin{pmatrix} \cfrac{1}{2} \cr\cr -5 \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
x\times\left(-5\right)- \cfrac{1}{2}\times\left(y-4\right)=0 \Leftrightarrow -5x-\cfrac{1}{2}y+2=0\Leftrightarrow -10x-y+4=0
Une équation cartésienne de la médiane issue de B dans le triangle ABC est -10x-y+4=0.
Quelles sont les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC ?
Dans le triangle ABC, le point G nommé centre de gravité du triangle ABC est aussi le point de concourt des trois médianes \left(AA'\right), \left(BB'\right) et \left(CC'\right).
Pour déterminer les coordonnées du point G, on doit résoudre le système d'équations suivant :
\left(S\right):\begin{cases} 2x-7y+4=0 \cr \cr -10x-y+4=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-7y=-4\;\;\; \qquad \left(L_1\right) \cr \cr -10x-y=-4 \qquad \left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} 10x-10x-35y-y=-20-4 \qquad\qquad 5\left(L_1\right)+\left(L_2\right)\cr \cr -10x-y=-4\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=\cfrac{24}{36}=\cfrac{2}{3} \cr \cr -10x-\cfrac{2}{3}=-4 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\cfrac{2}{3} \cr \cr -10x=-4+\cfrac{2}{3} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\cfrac{2}{3} \cr \cr x=\cfrac{1}{3} \end{cases}
Le couple solution du système \left(S\right) est le couple \left(\cfrac{1}{3};\cfrac{2}{3}\right).
Les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont \left(\cfrac{1}{3};\cfrac{2}{3}\right).