Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on donne les points suivants :
A\left(-5{,}2\right), B\left(-3{,}1\right), C\left(-1;4\right) et D\left(3;0\right)
Pour tout réel m, on appelle \Delta_m la droite d'équation mx+y+1=0.
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles le point A appartient à la droite \Delta_m ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
A\left(-5;2\right)\in\Delta_m\Leftrightarrow -5 m+2+1=0 \Leftrightarrow m=\cfrac{3}{5}
A\in\Delta_m \Leftrightarrow m=\cfrac{3}{5}
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles la droite \Delta_m est parallèle à la droite (AB) ?
On cherche tout d'abord un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(-3-\left(-5\right);1-2\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(2;-1\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(2;-1\right) est un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
Il existe donc un réel c tel que : -x-2y+c=0,soit une équation de la droite \left(AB\right).
Or, le point A appartient à la droite \left(AB\right), donc :
A\in\left(AB\right)\Leftrightarrow 5-2\times 2+c=0 \Leftrightarrow c=-1
Une équation cartésienne de la droite \left(AB\right) est donc :
-x-2y-1=0
Il reste à déterminer les éventuelles valeurs de m, pour lesquelles la droite \left(AB\right) et la droite \Delta_m sont parallèles.
Or, d'après le cours, un vecteur directeur de la droite \Delta_m est le vecteur \overrightarrow{u}\left(-1;m\right).
Donc :
Les droites \left(AB\right) et \Delta_m sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB}\left(2;-1\right) et \overrightarrow{u}\left(-1;m\right) sont colinéaires.
Donc :
\left(\Delta_m\right)\,//\left(AB\right) \Leftrightarrow m\times2-\left(-1\right)\times\left(-1\right)=0 \Leftrightarrow 2 m-1=0 \Leftrightarrow m=\cfrac{1}{2}
Justifier que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
La droite \Delta_m et la droite \left(AB\right) sont parallèles si et seulement si m=\cfrac{1}{2}.
Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes et, si oui, quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
D'après la question précédente, on a déterminé un vecteur directeur de la droite \left(AB\right) qui a pour coordonnées \left(-2;1\right).
On cherche à présent un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
\overrightarrow{CD}\left(x_D-x_C;y_D-y_C\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(3-\left(-1\right);0-4\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(4;-4\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(4;-4\right) est un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
Il existe donc un réel c tel que -4x-4y+c=0 , soit une équation cartésienne de la droite \left(CD\right).
Or, C\left(-1;4\right)\in\left(CD\right), donc :
C\in\left(CD\right)\Leftrightarrow -4\times\left(-1\right)-4\times4+c=0\Leftrightarrow 4-16+c=0 \Leftrightarrow c=12
Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est donc :
-4x-4y+12=0
On vérifie à présent que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes.
On sait que :
- Une équation cartésienne de la droite \left(AB\right) est : -x-2y-1=0.
- Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est : -4x-4y+12=0.
On calcule ensuite :
\left(-1\right)\times\left(-4\right)-\left(-4\right)\times\left(-2\right)=4-8=-4
Or, -4\neq 0, donc :
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes.
Il reste à déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. Pour cela, on résout le système d'équations \left(S\right) suivant :
\left(S\right):\begin{cases} -x-2y-1=0\cr \cr -4x-4y+12=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} -x-2y=1 \;\;\;\;\qquad\left(L_1\right)\cr \cr -4x-4y=-12\qquad\left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4x-4x+8y-4y=-16 \;\;\;\;\qquad-4\left(L_1\right)+\left(L_2\right)\cr \cr -4x-4y=-12\qquad\qquad\qquad\qquad\left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4y=-16\cr \cr -4x-4y=-12 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} y=\cfrac{-16}{4}=-4\cr \cr -4x-4\times\left(-4\right)=-12 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=-4\cr \cr -4x=-28 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} y=-4\cr \cr x=\cfrac{-28}{-4}=7 \end{cases}
Le couple solution de ce système \left(S\right) est le couple \left(7;-4\right).
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont bien sécantes et leur point d'intersection est le point de coordonnées \left(7;-4\right).
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles les droites (AB), (CD) et \Delta_m sont concourantes ?
D'après la question précédente, on a montré que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes et que leur point d'intersection, nommé O, a pour coordonnées \left(7;-4\right).
Donc, si les droites \left(AB\right) , \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes, leur point de concourt sera le point O, qui a pour coordonnées \left(7;-4\right).
Autrement dit :
O\left(7;-4\right)\in\Delta_m \Leftrightarrow 7 m-4+1=0 \Leftrightarrow m=\cfrac{3}{7}
Les droites \left(AB\right), \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes en un point de coordonnées \left(7;-4\right) si et seulement si m=\cfrac{3}{7}.