Déterminer une équation cartésienne des droites suivantes.
La droite d passant par M\left(0;3\right) et parallèle à d':5x-3y+1=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation 5x-3y+1=0.
On a donc :
- a = 5 ;
- b = -3 donc -b=3.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(3;5\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(3;5\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme 5x-3y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(0;3\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
5 x_{M}-3y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 5\times 0 -3 \times 3 + c = 0
\Leftrightarrow c = 9
d admet pour équation cartésienne : 5x-3y+9 = 0.
La droite d passant par M\left(2;-3\right) et parallèle à d':4x-10y-43=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation 4x-10y-43=0.
On a donc :
- a = 4 ;
- b = -10 donc -b=10.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(10;4\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(10;4\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme 4x+10y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(2;-3\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
4x_{M}-10y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 4\times 2 -10 \times \left(-3\right) + c = 0
\Leftrightarrow c = -38
d admet pour équation cartésienne : 4x-10y-38 = 0.
La droite d passant par M\left(-3;-7\right) et parallèle à d':-x+y+8=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation -x+y+8=0.
On a donc :
- a = -1 ;
- b = 1 donc -b=-1.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(-1;-1\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(-1;-1\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme -x+y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(-3;-7\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
-x_{M}+y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 3-7 + c = 0
\Leftrightarrow c = 4
d admet pour équation cartésienne : -x+y+4 = 0.
La droite d passant par M\left(2;-1\right) et parallèle à d':2x+y-5=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation 2x+y-5=0.
On a donc :
- a = 2 ;
- b = 1 donc -b=-1.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(-1;2\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(-1;2\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme 2x+y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(2;-1\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
2x_{M}+y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 2\times 2-1+c=0
\Leftrightarrow c = -3
d admet pour équation cartésienne : 2x+y-3=0.
La droite d passant par M\left(-1;0\right) et parallèle à d':11x+7y-13=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation 11x+7y-13=0.
On a donc :
- a = 11 ;
- b = 7 donc -b=-7.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(-7;11\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(-7;11\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme 11x+7y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(-1;0\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
11x_{M}+7y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 11\times \left(-1\right) + 7 \times 0 + c = 0
\Leftrightarrow c = 11
d admet pour équation cartésienne : 11x+7y+11 = 0.
La droite d passant par M\left(-2;6\right) et parallèle à d':-6x+2y+3=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation -6x+2y+3=0.
On a donc :
- a = -6 ;
- b = 2 donc -b=-2.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(-2;-6\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(-2;-6\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme -6x+2y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(-2;6\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
-6x_{M}+2y_{M}+c=0
\Leftrightarrow -6\times \left(-2\right) + 2 \times 6+ c = 0
\Leftrightarrow c = -24
d admet pour équation cartésienne : -6x+2y-24 = 0.
La droite d passant par M\left(4;3\right) et parallèle à d':3x+8y+11=0.
Détermination d'un vecteur directeur de d'
d et d' sont parallèles, donc tout vecteur directeur de d' est également un vecteur directeur de d. On détermine donc un vecteur directeur de d'.
Or une droite d'équation ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{u}\left(-b;a\right) comme vecteur directeur. Ici, d' a pour équation 3x+8y+11=0.
On a donc :
- a = 3 ;
- b = 8 donc -b=-8.
Le vecteur \overrightarrow{u}\left(-8;3\right) est donc un vecteur directeur de d'.
Equation de d
\overrightarrow{u}\left(-8;3\right) est un vecteur directeur de d. La droite d admet donc une équation de la forme 3x+8y+c=0.
Il reste à déterminer c. On sait que le point M\left(4;3\right) appartient à d. Ses coordonnées vérifient donc une équation de d. Ainsi :
3 x_{M}+8y_{M}+c=0
\Leftrightarrow 3\times 4 + 8 \times 3 + c = 0
\Leftrightarrow c = -36
d admet pour équation cartésienne : 3x+8y-36 = 0.