Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales suivantes :
I_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x) \ \mathrm dx et J_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de I_0 ?
I_0=\int_{0}^{\pi} e^{-0\times x}\sin(x) \ \mathrm dx\\=\int_{0}^{\pi} e^0\sin(x) \ \mathrm dx\\\\=\int_{0}^{\pi} \sin(x) \ \mathrm dx\\\\=\left[ -\cos(x) \right]_0^\pi\\=-\cos(\pi)+\cos(0)\\=2
I_0 est égal à 2.
Pour tout entier naturel n, que peut-on dire du signe de I_n ?
On sait que :
Pour tout x \in [0;\pi], 0 \leqslant \sin x \leqslant 1.
Or, pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a :
e^{-nx} \gt 0
On en déduit que, pour tout x \in [0;\pi] et pour tout entier naturel n, on a :
0 \leqslant \sin x e^{-nx} \leqslant e^{-nx}
La fonction à intégrer étant positive et l'intervalle d'intégration étant croissant, on en conclut que l'intégrale I_n est positive pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on a : I_n \geqslant 0.
Pour tout entier naturel n, que peut-on dire de I_{n+1}-I_n ?
Soit n un entier naturel.
On a :
I_{n+1}-I_n\\=\int_{0}^{\pi} e^{-(n+1)x}\sin(x) \ \mathrm dx-\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x) \ \mathrm dx\\=\int_{0}^{\pi} (e^{-(n+1)x}-e^{-nx})\sin(x) \ \mathrm dx\\= \int_{0}^{\pi} e^{-nx}(e^{-x}-1)\sin(x) \ \mathrm dx
Or, pour tout x \in [0;\pi], on a :
0 \leqslant \sin x \leqslant 1 et e^{-nx} \gt 0
Par ailleurs, pour tout réel x positif, on a -x \leqslant 0
donc 0 \lt e^{-x} \leqslant 1
et donc -1 \lt e^{-x}-1 \leqslant 0.
On en déduit que :
e^{-nx}(e^{-x}-1)\sin x \leqslant 0
La fonction à intégrer étant négative et l'intervalle d'intégration étant croissant, on en conclut que l'intégrale \int_{0}^{\pi} e^{-nx}(e^{-x}-1)\sin(x) \ \mathrm dx est négative.
Pour tout entier naturel n, on a I_{n+1}-I_n \leqslant 0.
Que peut-on dire de la suite \left( I_n \right) ?
On sait que pour tout entier naturel n, on a I_{n+1}-I_n \leqslant 0.
Autrement dit, pour tout entier naturel n, on a I_{n+1} \leqslant I_n.
Ainsi, la suite (I_n) est décroissante.
On sait également que pour tout entier naturel n, I_n \geqslant 0.
La suite (I_n) est donc minorée par 0.
Ainsi, la suite (I_n) est décroissante et minorée par 0.
On en déduit que la suite (I_n) converge vers une limite \ell positive.
La suite (I_n) converge vers une limite \ell positive.
Quelle inégalité est vraie pour tout entier naturel n ?
Soit n un entier naturel.
Pour tout x \in [0;\pi], on a :
0 \leqslant \sin x \leqslant 1 et e^{-nx} \gt 0
On en déduit que pour tout x \in [0;\pi], on a :
0 \leqslant e^{-nx}\sin x \leqslant e^{-nx}
Par intégration sur l'intervalle [0;\pi], on obtient :
\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin x \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\ \mathrm dx
Ainsi, on a :
I_n \leqslant \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx
L'inégalité qui est vraie pour tout entier naturel n est la suivante :
I_n \leqslant\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx
Pour tout entier naturel n \geqslant 1, combien vaut \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx ?
Soit n un entier naturel.
Une primitive de la fonction x\longmapsto e^{-nx} sur \mathbb{R} est x\longmapsto \dfrac{-e^{-nx}}{n}.
On a donc :
\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{e^{-nx}}{n} \right]_0^\pi= -\dfrac{e^{-n\pi}}{n}+ \dfrac{e^{-n \times 0}}{n}=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}
Pour tout entier naturel n \geqslant 1, \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx est égale à \dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}.
Quelle est la limite de la suite (I_n) ?
On sait que :
\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}
Or, on a \lim\limits_{n \to +\infty} e^{-n\pi}=0.
Donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} 1-e^{-n\pi}=1
Et on en déduit que :
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}=0
En conclusion, on a :
\lim\limits_{n \to +\infty}\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx=0
Or, on sait que :
- Pour tout entier naturel n, 0 \leqslant\ I_n \leqslant\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx.
- La suite (I_n) converge.
D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que la suite (I_n) converge vers 0.
La limite de la suite (I_n) est égale à 0.
En intégrant par parties l'intégrale (I_n), quelle égalité peut-on établir pour tout entier naturel n \geqslant 1 ?
Soit un entier naturel n \geqslant 1.
On définit les fonctions u et v sur \mathbb{R} ainsi :
- u(x)=e^{-nx}
- v(x)=-\cos x
Les fonctions u et v sont continues et dérivables sur \mathbb{R}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
- u'(x)=-ne^{-nx}
- v'(x)=\sin x
Les fonctions u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
En intégrant par parties, on obtient :
\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \sin x \ \mathrm dx \\=\left[ -e^{-nx}\cos x\right]_0^{\pi}-\int_{0}^{\pi}ne^{-nx} \cos x \ \mathrm dx\\=-e^{-n\pi}\cos \pi+e^{-n \times 0}\cos 0-\int_{0}^{\pi}ne^{-nx} \cos x \ \mathrm dx\\=1+ e^{-n\pi}-n \int_{0}^{\pi}e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx
On remarque que :
\int_{0}^{\pi}e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx=J_n
On a finalement :
I_n=1+e^{-n\pi}-nJ_n
En intégrant par parties l'intégrale (I_n), l'égalité que l'on peut établir pour tout entier naturel n \geqslant 1 est la suivante :
I_n = 1 + e^{-n\pi} - n J_n
En intégrant par parties d'une manière différente l'intégrale (I_n), quelle égalité peut-on établir pour tout entier naturel n \geqslant 1 ?
Soit un entier naturel n \geqslant 1.
On définit les fonctions u et v sur \mathbb{R} ainsi :
- u(x)=\sin x
- v(x)=-\dfrac{1}{n}e^{-nx}
Les fonctions u et v sont continues et dérivables sur \mathbb{R}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
- u'(x)=\cos x
- v'(x)=e^{-nx}
Les fonctions u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
En intégrant par parties, on obtient :
\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \sin x \ \mathrm dx \\=\left[ -\dfrac{1}{n}e^{-nx}\sin x \right]_0^\pi-\int_{0}^{\pi} -\dfrac{1}{n}e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx\\= -\dfrac{1}{n}e^{-n\pi}\sin \pi+\dfrac{1}{n}e^{-n \times 0}\sin 0+\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx\\=0+0+\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx\\=\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi} e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx
On remarque que :
\int_{0}^{\pi}e^{-nx} \cos x \ \mathrm dx=J_n
On a finalement :
I_n=\dfrac{1}{n}J_n
En intégrant par parties l'intégrale (I_n), l'égalité que l'on peut établir pour tout entier naturel \geqslant 1 est la suivante :
I_n=\dfrac{1}{n}J_n
Pour tout entier naturel n \geqslant 1, quelle est la valeur de I_n ?
Soit un entier naturel n \geqslant 1.
On a :
- I_n = 1 + e^{-n\pi} - n J_n
- I_n=\dfrac{1}{n}J_n
On en déduit que :
1 + e^{-n\pi} - n J_n=\dfrac{1}{n}J_n
On obtient :
\dfrac{1}{n}J_n+nJ_n=1 + e^{-n\pi}
D'où :
\left( \dfrac{1}{n}+n\right)J_n=1 + e^{-n\pi}
Puis :
\dfrac{n^2+1}{n}J_n=1 + e^{-n\pi}
Et finalement :
J_n= \dfrac{n^2}{n+1} \left( 1+e^{-n\pi} \right)
On remplace la valeur obtenue pour J_n dans l'égalité I_n=\dfrac{1}{n}J_n.
On obtient :
I_n=\dfrac{1}{n} \times \dfrac{n}{n^2+1} \left( 1+e^{-n\pi} \right)
D'où :
I_n=\dfrac{1+e^{-n\pi} }{n^2+1}
En intégrant par parties l'intégrale (I_n), l'égalité que l'on peut établir pour tout entier naturel \geqslant 1 est la suivante :
I_n=\dfrac{1}{n}J_n
On souhaite obtenir le rang n à partir duquel la suite (I_n) devient inférieure à 0,1.
Avec quelle instruction doit-on compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous ?
L' instruction avec laquelle on doit compléter la cinquième ligne du script Python est la suivante :
while I >= 0.1 :