Sachant que pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] , on a \sin{\left(x + 3 \right)} \leq x + 3 , que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x + 3 \right)} dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] , on a :
\sin{\left(x + 3 \right)} \leq x + 3
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x + 3 \right)} dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x + 3 dx
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x + 3 dx = \left[ \frac{x^2}{2}+3x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x + 3 dx = \dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac{3\pi}{2}
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x + 3 \right)} dx \leq \dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac{3\pi}{2} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] , on a \cos{\left(2 x \right)} \leq \dfrac{2 x^{4}}{3} - 2 x^{2} + 1 , que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(2 x \right)} dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] , on a :
\cos{\left(2 x \right)} \leq \dfrac{2 x^{4}}{3} - 2 x^{2} + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(2 x \right)} dx \leq \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{2 x^{4}}{3} - 2 x^{2} + 1 dx
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2 x^{4}}{3} - 2 x^{2} + 1 dx = \left[ \dfrac{2x^5}{15}-\dfrac{2x^3}{3}+x \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2 x^{4}}{3} - 2 x^{2} + 1 dx = \dfrac{2\pi^5}{480}-\dfrac{2\pi^3}{24}+\dfrac{\pi}{2}
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(2 x \right)} dx \leq \dfrac{\pi^5}{240}-\dfrac{\pi^3}{12}+\dfrac{\pi}{2} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\ln{\left(2 x + 1 \right)} \leq 2 x
Que peut-on dire de \int_{0}^{1} \ln{\left(2 x + 1 \right)} dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\ln{\left(2 x + 1 \right)} \leq 2 x
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \ln{\left(2 x + 1 \right)} dx \leq \int_{0}^{1} 2 x dx
Et :
\int_{0}^{1} 2 x dx = \left[ x^{2} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} 2 x dx = 1
Ainsi, \int_{0}^{1} \ln{\left(2 x + 1 \right)} dx \leq 1 .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a x^{2} - x \leq x^{2} , que peut-on dire de \int_{0}^{1} x^{2} - x dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
x^{2} - x \leq x^{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} x^{2} - x dx \leq \int_{0}^{1} x^{2} dx
Et :
\int_{0}^{1} x^{2} dx = \left[ \dfrac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} x^{2} dx = \dfrac{1}{3}
Ainsi, \int_{0}^{1} x^{2} - x dx \leq \dfrac{1}{3} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] , on a \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \leq - \dfrac{x^{2}}{2} , que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] , on a :
\ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \leq - \dfrac{x^{2}}{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \dfrac{x^{2}}{2} dx
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{x^{2}}{2} dx = \left[ - \dfrac{x^{3}}{6} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \frac{x^{2}}{2} dx = - \dfrac{\pi^{3}}{384}
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} dx \leq - \dfrac{\pi^{3}}{384} .