À l'aide du quadrillage, comment peut-on encadrer la moyenne m de la fonction suivante entre x = 0 et x = 2 ?
On peut calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle en se ramenant à un calcul d'intégrale.
On note S la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives x=a et x=b.
On a :
Aire algébrique de S = \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Dans le cas où f est positive sur [a ;b], la valeur moyenne m de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base (b-a) ayant la même aire que celle de S.
\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m
Pour encadrer une intégrale, on peut regarder l'aire « sous la courbe ».
Pour cela, on peut approcher la valeur en comptant le nombre maximum de carrés entièrement inclus dans S et le nombre minimum de carrés nécessaires pour recouvrir intégralement S.
En-dessous de la courbe, on peut dessiner les carrés suivants :
On en compte 70 maximum à l'intérieur de S.
Au-dessus, on en compte 91 nécessaires et suffisants pour recouvrir intégralement S :
Or, pour ce quadrillage, les carrés représentés sont de côté 0,2 donc d'aire 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04 .
Ainsi, l'aire est comprise entre 0{,}4 \times 70 = 2{,}8 et 0{,}04 \times 96 = 3{,}84 .
On divise par b - a = 2 - 0 = 2 .
Ainsi, 1{,}4 \leq m \leq 1{,}92 .
À l'aide du quadrillage, comment peut-on encadrer la moyenne m de la fonction suivante entre x = 0 et x = 1 ?
On peut calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle en se ramenant à un calcul d'intégrale.
On note S la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives x=a et x=b.
On a :
Aire algébrique de S = \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Dans le cas où f est positive sur [a ;b], la valeur moyenne m de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base (b-a) ayant la même aire que celle de S.
\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m
Pour encadrer une intégrale, on peut regarder l'aire « sous la courbe ».
Pour cela, on peut approcher la valeur en comptant le nombre maximum de carrés entièrement inclus dans S et le nombre minimum de carrés nécessaires pour recouvrir intégralement S.
En dessous de la courbe, on peut dessiner les carrés suivants :
On en compte 56 maximum à l'intérieur de S.
Au-dessus, on en compte 75 nécessaires et suffisants afin de recouvrir entièrement S :
Or, pour ce quadrillage, les carrés représentés sont de côté 0,1 donc d'aire 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01 .
Ainsi, l'aire est comprise entre 0{,}1^2 \times 56 = 0{,}56 et 0{,}1^2 \times 75 = 0{,}75 .
On divise par b - a = 1 - 0 = 1 .
Ainsi, 0{,}56 \leq m \leq 0{,}75 .
À l'aide du quadrillage, comment peut-on encadrer la moyenne m de la fonction suivante entre x = 0 et x = 2 ?
On peut calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle en se ramenant à un calcul d'intégrale.
On note S la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives x=a et x=b.
On a :
Aire algébrique de S = \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Dans le cas où f est positive sur [a ;b], la valeur moyenne m de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base (b-a) ayant la même aire que celle de S.
\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m
Pour encadrer une intégrale, on peut regarder l'aire « sous la courbe ».
Pour cela, on peut approcher la valeur en comptant le nombre maximum de carrés entièrement inclus dans S et le nombre minimum de carrés nécessaires pour recouvrir intégralement S.
On peut dessiner les carrés suivants :
On en compte 26 minimum recouvrant S.
On en compte 12 maximum à l'intérieur de S :
Or, pour ce quadrillage, les carrés représentés sont de côté 0,2 donc d'aire 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04 .
Ici, l'aire se situe en dessous de l'axe des abscisses, la valeur algébrique est donc négative.
Ainsi, l'aire est comprise entre 0{,}04 \times (-26) = -1{,}04 et 0{,}04 \times (-12) = -0{,}48 .
On divise par b - a = 2- 0= 2 .
Ainsi, -0{,}52 \leq m \leq -0{,}24 .
À l'aide du quadrillage, comment peut-on encadrer la moyenne m de la fonction suivante entre x = 0 et x = 1 ?
On peut calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle en se ramenant à un calcul d'intégrale.
On note S la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives x=a et x=b.
On a :
Aire algébrique de S = \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Dans le cas où f est positive sur [a ;b], la valeur moyenne m de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base (b-a) ayant la même aire que celle de S.
\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m
Pour encadrer une intégrale, on peut regarder l'aire « sous la courbe ».
Pour cela, on peut approcher la valeur en comptant le nombre maximum de carrés entièrement inclus dans S et le nombre minimum de carrés nécessaires pour recouvrir intégralement S.
En dessous de la courbe, on peut dessiner les carrés suivants :
On en compte 18 maximum inclus dans S.
Au-dessus, on en compte 37 minimum recouvrant intégralement S :
Or, pour ce quadrillage, les carrés représentés sont de côté 0,1 donc d'aire 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01 .
Ainsi, l'aire est comprise entre 0{,}1^2 \times 18 = 0{,}18 et 0{,}1^2 \times 37 = 0{,}37 .
On divise par b - a = 1 - 0 = 1 .
Ainsi, 0{,}18 \leq m \leq 0{,}37 .
À l'aide du quadrillage, comment peut-on encadrer la moyenne m de la fonction suivante entre x = 0 et x = 1 ?
On peut calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle en se ramenant à un calcul d'intégrale.
On note S la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives x=a et x=b.
On a :
Aire algébrique de S = \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Dans le cas où f est positive sur [a ;b], la valeur moyenne m de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base (b-a) ayant la même aire que celle de S.
\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m
Pour encadrer une intégrale, on peut regarder l'aire « sous la courbe ».
Pour cela, on peut approcher la valeur en comptant le nombre maximum de carrés entièrement inclus dans S et le nombre minimum de carrés nécessaires pour recouvrir intégralement S.
On peut dessiner les carrés suivants :
On en compte 177 minimum recouvrant intégralement S.
On en compte 118 maximum inclus dans S :
Or, pour ce quadrillage, les carrés représentés sont de côté 0,04 donc d'aire 0{,}04 \times 0{,}04 = 0{,}0016 .
Ici, l'aire se situe en dessous de l'axe des abscisses, la valeur algébrique est donc négative. Ainsi, l'aire est comprise entre 0{,}0016 \times (-177) = -0{,}2832 et 0{,}0016 \times (-118) = -0{,}1888 .
On divise par b - a = 1 - 0 = 1 .
Ainsi, -0{,}2832 \leq m \leq -0{,}1888 .