Calculer une intégrale de sommes de fonctions usuelles à l'aide de l'intégration par partie Exercice

On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales : 
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} + x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

On peut commencer par calculer la première :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi^{3}}{192}

Pour calculer la deuxième, on peut utiliser une intégration par parties.

Pour tout réel x, on pose u(x)= x et v'(x)= \cos{\left(x \right)} .

On peut alors choisir v(x)= \sin{\left(x \right)} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.

Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.

On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

Ici, on obtient :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ x \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \sin{\left(x \right)} est :
F:x\mapsto - \cos{\left(x \right)}

Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =  \left[ - \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =  1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}

On a alors :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 + \dfrac{\sqrt{2} \pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi^{3}}{192}

On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales : 
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \sin{\left(x \right)}  \,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = 1

Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.

Pour tout réel x, posons u(x)= x^{2} et v'(x)= \sin{\left(x \right)} .

On peut alors choisir v(x)= - \cos{\left(x \right)} et on a u'(x)= 2 x , pour tout réel x.

Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.

On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

Ici, on obtient :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - x^{2} \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto - 2 x \cos{\left(x \right)} est :
F:x\mapsto - 2 \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)

Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =  \left[ - 2 \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} - 2 x \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =  2 - \pi

On a alors :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -2 + \pi
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = 1

On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales : 
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x +\int_{1}^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{1}^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \sin{\left(x \right)} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \sin{\left(1 \right)} + \sin{\left(2 \right)}

Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.

Pour tout réel x, posons u(x)= \ln{\left(x \right)} et v'(x)= x .

On peut alors choisir v(x)= \frac{x^{2}}{2} et on a u'(x)= \frac{1}{x} , pour tout réel x.

Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.

On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \frac{x}{2} est :
F:x\mapsto \frac{x^{2}}{4}

Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x =  \left[ \frac{x^{2}}{4} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \frac{x}{2} \,\mathrm{d}x =  \frac{3}{4}

On a alors :
\int_{1}^{2} x \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{3}{4} + 2 \ln{\left(2 \right)}
\int_{1}^{2} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \sin{\left(1 \right)} + \sin{\left(2 \right)}

On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{1}^{2} x e^{x} + \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x =\int_{1}^{2} x e^{x} \,\mathrm{d}x +\int_{1}^{2}  \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x

On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \left[ \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln{\left(2 \right)}

Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.

Pour tout réel x, posons u(x)= x et v'(x)= e^{x} .

On peut alors choisir v(x)= e^{x} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.

Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.

On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} x e^{x} \,\mathrm{d}x = \left[ x e^{x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} e^{x} \,\mathrm{d}x

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto e^{x} est :
F:x\mapsto e^{x}

Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} e^{x} \,\mathrm{d}x =  \left[ e^{x} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} e^{x} \,\mathrm{d}x =  - e + e^{2}

On a alors :
\int_{1}^{2} x e^{x} \,\mathrm{d}x = e^{2}
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln{\left(2 \right)}

On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{1}^{2} \left(x + 1\right)^{2} + \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x =\int_{1}^{2} \left(x + 1\right)^{2}\,\mathrm{d}x +\int_{1}^{2}\ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x

On peut commencer par calculer la première :
\int_{1}^{2} \left(x + 1\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3}\left(x+1\right)^3 \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} \left(x + 1\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \frac{27}{3}-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}

Pour calculer la deuxième, on peut utiliser une intégration par parties.

Pour tout réel x, posons u(x)= \ln{\left(x \right)} et v'(x)= 1 .

On peut alors choisir v(x)= x et on a u'(x)= \frac{1}{x} , pour tout réel x.

Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.

On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x

Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ x \ln{\left(x \right)} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x

Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto 1 est :
F:x\mapsto x

Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x =  \left[ x \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x =  1

On a alors :
\int_{1}^{2} \ln{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 + 2 \ln{\left(2 \right)}
\int_{1}^{2} \left(x + 1\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \frac{19}{3}