Sachant que pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a \sin{\left(x \right)} \leq x , que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \leq x
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \, dx
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \, dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \, dx = \frac{\pi^{2}}{8}
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, dx \leq \frac{\pi^{2}}{8} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] , on a \cos{\left(x \right)} \leq 1 - \dfrac{x^{2}}{2} , que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \, dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
\cos{\left(x \right)} \leq 1 - \frac{x^{2}}{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \, dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 - \frac{x^{2}}{2} \, dx
Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 - \frac{x^{2}}{2} \, dx = \left[ x-\frac{x^3}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 - \frac{x^{2}}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^3}{48} - 0
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \, dx \leq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^3}{48} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a \ln{\left(x + 1 \right)} \leq x , que peut-on dire de \int_{0}^{1} \ln{\left(x + 1 \right)} \, dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\ln{\left(x + 1 \right)} \leq x
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \ln{\left(x + 1 \right)} \, dx \leq \int_{0}^{1} x \, dx
Et :
\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}
Ainsi, \int_{0}^{1} \ln{\left(x + 1 \right)} \, dx \leq \frac{1}{2} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a e^{x} \leq \frac{x^{2}}{2} + x + 1 , que peut-on dire de \int_{0}^{1} e^{x} \, dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x} \leq \frac{x^{2}}{2} + x + 1
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{x} \, dx \leq \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, dx
Et :
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, dx = \left[ \frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x \right]_{0}^{1}
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, dx = \frac{5}{3} \)
Ainsi, \int_{0}^{1} e^{x} \, dx \leq \frac{5}{3} .
Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \leq - \frac{x^{2}}{2} , que peut-on dire de \int_{0}^{1} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \, dx ?
Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.
Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
\ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \leq - \frac{x^{2}}{2}
On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \, dx \leq \int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, dx
Et :
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, dx = \left[ - \frac{x^{3}}{6} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} - \frac{x^{2}}{2} \, dx = - \frac{1}{6}
Ainsi, \int_{0}^{1} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \, dx \leq - \frac{1}{6} .