Que vaut l'intégrale \int_{1}^{3} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx + \int_{3}^{5} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une somme de fonctions.
Ici :
f:x\longmapsto \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x}
f = u + v avec :
u(x) = \cos{\left(x \right)}
et
v(x) = \frac{1}{x}
Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est U:x\longmapsto \sin{\left(x \right)}.
Et une primitive de v sur ]0;+\infty[ est V: x \longmapsto \ln{\left(x \right)} .
Donc une primitive sur ]0;+\infty[ de la somme est la somme des primitives.
F: x \longmapsto \ln{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
De plus, d'après la relation de Chasles, on a :
\int_{1}^{3} \left( \cos(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx + \int_{3}^{5} \left( \cos(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx = \int_{1}^{5} \left( \cos(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{5} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \left[ \sin{\left(x \right)} + \ln{\left(x \right)}\right]_{1}^{5}
\int_{1}^{5} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \sin{\left(5 \right)} - \sin{\left(1 \right)} + \ln{\left(5 \right)}
Finalement, \int_{1}^{3} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx + \int_{3}^{5} \left( \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \sin{\left(5 \right)} - \sin{\left(1 \right)} + \ln{\left(5 \right)} .
Que vaut l'intégrale \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une somme de fonctions.
Ici :
f: x\longmapsto \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x}
f = u + v avec :
u(x) = \sin\left(x \right)
et
v(x) = \frac{1}{x}
Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est U: x \longmapsto - \cos{\left(x \right)}.
Et une primitive de v sur ]0;+\infty[ est V: x\longmapsto \ln{\left(x \right)} .
Donc une primitive sur ]0;+\infty[ de la somme est la somme des primitives.
F: x \longmapsto - \cos{\left(x \right)}+\ln{\left(x \right)}
De plus, d'après la relation de Chasles, on a :
\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}} \left( \sin(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx +\int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( \sin(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx=\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( \sin(x)+\dfrac{1}{x} \right) \ \mathrm dx
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \left[ - \cos{\left(x \right)} +\ln{\left(x \right)}\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = - \ln{\left(\frac{\pi}{4} \right)} + \ln{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \ln{\left(\dfrac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{4}} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \ln{\left(2\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}
Finalement, \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x} \right) \,dx = \ln{\left(2\right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx ?
On admettra qu'une primitive sur ]0;+\infty[ de x\longmapsto \ln\left(x\right) est x\longmapsto x\ln\left(x\right) -x.
On cherche à calculer l'intégrale d'une somme de fonctions.
Ici :
f:x\longmapsto x^{3} + \ln{\left(x \right)}
f = u + v avec :
u(x) = x^{3}
et
v(x) = \ln{\left(x \right)}
Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est U:x\longmapsto \frac{x^{4}}{4} .
Et une primitive de v sur ]0;+\infty[ est V:x\longmapsto x \ln(x)-x .
Donc une primitive sur ]0;+\infty[ de la somme est la somme des primitives.
F:x\longmapsto \frac{x^4}{4}+x\ln(x)-x
De plus, d'après la relation de Chasles, on a :
\int_{1}^{2} \left( x^{3}+\ln(x) \right) \ \mathrm dx + \int_{2}^{4} \left( x^{3}+\ln(x) \right) \ \mathrm dx = \int_{1}^{4} \left( x^{3}+\ln(x) \right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{4} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx = \left[ \frac{x^4}{4}+x\ln(x)-x \right]_{1}^{4}
\int_{1}^{4} \left( x^{3}+\ln(x) \right) \ \mathrm dx =\left(64+4\ln(4)-4\right)-\left(\frac{1}{4}-1\right)
\int_{1}^{4} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx = 4 \ln{\left(4 \right)} + \frac{243}{4}
Finalement, \int_{1}^{2} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( x^{3} + \ln{\left(x \right)} \right) \,dx = 4 \ln{\left(4 \right)} + \frac{243}{4} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx + \int_{2}^{3} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une somme de fonctions.
Ici :
f:x\longmapsto x^5 - x^{2}
f = u + v avec :
u(x) = x^5
et
v(x) = - x^{2}
Une primitive de u sur \mathbb{R} est U:x\longmapsto \frac{x^6}{6} .
Et une primitive de v sur \mathbb{R} est V:x\longmapsto - \frac{x^{3}}{3} .
Donc une primitive sur \mathbb{R} de la somme est la somme des primitives.
F:x\longmapsto \frac{x^6}{6}-\frac{x^3}{3}
De plus, d'après la relation de Chasles, on a :
\int_{1}^{2} \left( x^5-x^{2} \right) \ \mathrm dx +\int_{2}^{3} \left( x^5-x^{2} \right) \ \mathrm dx = \int_{1}^{3} \left(x^5-x^{2} \right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{3} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx = \left[ \frac{x^6}{6}-\frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}
\int_{1}^{3} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx = \left(\frac{243}{2}-9\right)-\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\right)
Finalement, \int_{1}^{2} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx + \int_{2}^{3} \left( x^5 - x^{2} \right) \,dx = \frac{338}{3} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{3} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx + \int_{3}^{5} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx ?
On cherche à calculer l'intégrale d'une somme de fonctions.
Ici :
f:x\longmapsto e^{x} + \frac{1}{x^{2}}
f = u + v avec :
u(x) = e^{x}
et
v(x) = \frac{1}{x^{2}}
Or, une primitive de u sur \mathbb{R} est U:x\longmapsto e^{x}.
Et une primitive de v sur ]0;+\infty[ est V:x\longmapsto - \frac{1}{x}.
Donc une primitive sur ]0;+\infty[ de la somme est la somme des primitives.
F:x\longmapsto e^x-\frac{1}{x}
De plus, d'après la relation de Chasles, on a :
\int_{1}^{3} \left( e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right) \ \mathrm dx + \int_{3}^{5} \left( e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right) \ \mathrm dx = \int_{1}^{5} \left( e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{5} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx = \left[ e^x-\frac{1}{x} \right]_{1}^{5}
\int_{1}^{5} \left( e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}} \right) \ \mathrm dx = \left( e^5-\dfrac{1}{5} \right)-\left( e-1 \right)
\int_{1}^{5} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx = e^5- e + \frac{4}{5}
Finalement, \int_{1}^{3} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx + \int_{3}^{5} \left( e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \,dx = e^5 - e + \frac{4}{5} .