Que vaut l'intégrale \int_{2}^{3} \left( x \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( x \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{2}^{3} \left( x \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( x \right) \,dx = \int_{2}^{4} \left( x \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto x
Il s'agit d'une fonction usuelle dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto \frac{x^{2}}{2}
\int_{2}^{4} \left( x \right) \,dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{2}^{4} =\dfrac{4^{2}}{2}-\dfrac{2^{2}}{2}
\int_{2}^{4} \left( x \right) \,dx = 6
Finalement, \int_{2}^{3} \left( x \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( x \right) \,dx = 6 .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\dfrac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto \cos(x)
Il s'agit d'une fonction usuelle dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto \sin{\left(x \right)}
\int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = \left[ \sin{\left(x \right)} \right]_{0}^{\pi}
\int_{0}^{\pi} \left( \cos(x) \right) \ \mathrm dx=\sin(\pi)-\sin(0)
\int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = 0
Finalement, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(x \right)} \right) \,dx = 0 .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{1} \left( x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{1} \left( x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx = \int_{0}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto x^{2}
Il s'agit d'une fonction usuelle dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto \frac{x^{3}}{3}
\int_{0}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx = \frac{8}{3}
Finalement, \int_{0}^{1} \left( x^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( x^{2} \right) \,dx = \frac{8}{3} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \left( 4 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 4 x \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \left( 4 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 4 x \right) \,dx = \int_{1}^{4} \left( 4 x \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto 4x
Il s'agit d'une fonction usuelle dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto 2 x^{2}
\int_{1}^{4} \left( 4 x \right) \,dx = \left[ 2 x^{2} \right]_{1}^{4} =2\times 4^{2}-2\times 1^{2}
\int_{1}^{4} \left( 4 x \right) \,dx = 30
Finalement, \int_{1}^{2} \left( 4 x \right) \,dx + \int_{2}^{4} \left( 4 x \right) \,dx = 30 .
Que vaut l'intégrale \int_{-1}^{1} \left( e^{x} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{-1}^{1} \left( e^{x} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx = \int_{-1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto \exp(x)
Il s'agit d'une fonction usuelle dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto e^{x}
\int_{-1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx = \left[ e^{x} \right]_{-1}^{2}
\int_{-1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx = e^{2} - e^{-1}
Finalement, \int_{-1}^{1} \left( e^{x} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( e^{x} \right) \,dx = e^{2} - e^{-1} .