Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} + \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x
On peut décomposer l'intégrale en une somme des intégrales :
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} + \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} \,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1} \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x
On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{0}^{1} \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3}(x+3)^3 \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \frac{64}{3}-\frac{27}{3}=\frac{37}{3}
Pour calculer la deuxième, on peut utiliser une intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose u(x)= x - 1 et v'(x)= e^{3 x} .
On peut alors choisir v(x)= \frac{e^{3 x}}{3} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{1} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{\left(x - 1\right) e^{3 x}}{3} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{3 x}}{3} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \frac{e^{3 x}}{3} est :
F:x\mapsto \frac{e^{3 x}}{9}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{1} \frac{e^{3 x}}{3} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{e^{3 x}}{9} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{e^{3 x}}{3} \,\mathrm{d}x = - \frac{1}{9} + \frac{e^{3}}{9}
On a alors :
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} \,\mathrm{d}x = \frac{4}{9} - \frac{e^{3}}{9}
\int_{0}^{1} \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \frac{37}{3}
Ainsi, \int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{3 x} + \left(x + 3\right)^{2} \,\mathrm{d}x = \frac{115}{9} - \frac{e^{3}}{9} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} + \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x
On pourra utiliser le fait que \frac{1}{x \left(x + 2\right)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} \right) pour tout réel x\in [1;2].
On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} + \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} \,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2} \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x
On peut commencer par calculer la première :
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ 2 e^{\frac{x}{2}} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} \,\mathrm{d}x = \left(2 e\right)-\left(2 e^{\frac{1}{2}}\right)
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} \,\mathrm{d}x = - 2 e^{\frac{1}{2}} + 2 e
Pour calculer la deuxième, on peut utiliser une intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose u(x)= \ln{\left(x + 2 \right)} et v'(x)= \frac{1}{x^{2}} .
On peut alors choisir v(x)= - \frac{1}{x} et on a u'(x)= \frac{1}{x + 2} , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont définies et continues sur [1;2] .
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ - \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x
D'après l'énoncé, \frac{1}{x \left(x + 2\right)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} \right) pour tout réel x\in [0;2].
On peut donc calculer cette dernière intégrale :
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} \right) \,\mathrm{d}x
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{x} \,\mathrm{d}x -\int_{1}^{2} \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{x+2} \,\mathrm{d}x
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{- 1}{2}\ln(x) \right]_{1}^{2}-\left[ \frac{1}{2}\ln(x+2) \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = \left(- \frac{\ln{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(4 \right)}}{2}\right)-\left(\frac{\ln{\left(3 \right)}}{2}\right)
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = \left(- \frac{\ln{\left(2 \right)}}{2} + \frac{2 \ln{\left(2 \right)}}{2}\right)-\left(\frac{\ln{\left(3 \right)}}{2}\right)
\int_{1}^{2} - \frac{1}{x \left(x + 2\right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{\ln{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(2 \right)}}{2}
On a alors :
\int_{1}^{2} \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = - \frac{3 \ln{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \ln{\left(3 \right)}}{2}
\int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} \,\mathrm{d}x = - 2 e^{\frac{1}{2}} + 2 e
Ainsi, \int_{1}^{2} e^{\frac{x}{2}} + \frac{\ln{\left(x + 2 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = - 2 e^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \ln{\left(2 \right)}}{2} + \frac{3 \ln{\left(3 \right)}}{2} + 2 e .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x
On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x
On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x = \left[ - 4 \ln{\left(x \right)} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
\( \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x = - 4 \ln{\left(\pi \right)} + 4 \ln{\left(\frac{\pi}{2} \right)} \)
Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose u(x)= - x et v'(x)= \cos{\left(3 x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} et on a u'(x)= -1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}- \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} est :
F:x\mapsto \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x = - \frac{1}{9}
On a alors :
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{9} - \frac{\pi}{6}
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x = - 4 \ln{\left(\pi \right)} + 4 \ln{\left(\frac{\pi}{2} \right)}
Ainsi, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{4}{x} \,\mathrm{d}x = - 4 \ln{\left(\pi \right)} - \frac{\pi}{6} + \frac{1}{9} + 4 \ln{\left(\frac{\pi}{2} \right)} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x
On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x
On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - 2 \cos{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \right]_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x = - \sqrt{3} + 2 \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}}
Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose u(x)= x et v'(x)= \dfrac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} .
On peut alors choisir v(x)= \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{3}\right].
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{\dfrac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}- \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \right]_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right] de x \mapsto \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} est :
F:x\mapsto - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} car \cos(x)>0 sur \left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{3}\right]
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x = \left[ - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \right]_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x = \ln{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \ln{\left(2 \right)}
On a alors :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \,\mathrm{d}x = - \dfrac{\pi}{4} - \ln{\left(2 \right)} - \ln{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \dfrac{\sqrt{3} \pi}{3}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\left(\dfrac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x = - \sqrt{3} + 2 \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}}
Ainsi, \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \,\mathrm{d}x = - \sqrt{3} - \frac{\pi}{4} - \ln{\left(2 \right)} - \ln{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{\sqrt{3} \pi}{3} + 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} .
Que vaut l'intégrale suivante ?
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
On peut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
On peut commencer par calculer la deuxième :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \cos{\left(x \right)} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}
\(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Pour calculer la première, on peut utiliser une intégration par parties.
Pour tout réel x, on pose u(x)= \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} et v'(x)= \cos{\left(x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= \sin{\left(x \right)} et on a u'(x)= \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right].
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \cos{\left(x \right)} est :
F:x\mapsto \sin{\left(x \right)}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \sin{\left(x \right)} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
On a alors :
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 - \frac{\sqrt{2} \ln{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Ainsi, \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 - \frac{\sqrt{2} \ln{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} .