Que vaut l'intégrale \int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{2 x} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x, on pose u(x)= x - 1 et v'(x)= e^{2 x} .
On peut alors choisir v(x)= \frac{e^{2 x}}{2} et on a u'(x)= 1 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{1} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{2 x} \,dx = \left[ \frac{\left(x - 1\right) e^{2 x}}{2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} \,dx
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{2 x} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{\left(x - 1\right) e^{2 x}}{2} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2 x}}{2} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \dfrac{e^{2 x}}{2} est :
x\mapsto \dfrac{e^{2 x}}{4}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} \,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{e^{2 x}}{4} \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} \,\mathrm{d}x = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{e^{2}}{4}
Donc :
\int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{2 x} \,\mathrm{d}x = \left( \frac{1}{2} \right) - \left( - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4} \right)
Ainsi, \int_{0}^{1} \left(x - 1\right) e^{2 x} \,\mathrm{d}x = \frac{3}{4} - \frac{e^{2}}{4} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \frac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x>0, on pose u(x)= \ln{\left(x + 1 \right)} et v'(x)= \frac{1}{x^{2}} .
On peut alors choisir v(x)= - \frac{1}{x} et on a u'(x)= \frac{1}{x + 1} , pour tout réel x>0.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur ]0;+\infty[.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{1}^{2} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{1}^{2} \dfrac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} \,dx = \left[ - \dfrac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \dfrac{1}{x \left(x + 1\right)} \,dx
\int_{1}^{2} \dfrac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ - \dfrac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \dfrac{1}{x \left(x + 1\right)} \,\mathrm{d}x
Or, pour tout réel x>0, \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}, car pour tout réel x>0, \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}-\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}.
On en déduit :
Une primitive sur ]0;+\infty[ de x \mapsto - \dfrac{1}{x \left(x + 1\right)} est :
x\mapsto - \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{1}^{2} - \dfrac{1}{x \left(x + 1\right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} \right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2} - \dfrac{1}{x \left(x + 1\right)} \,\mathrm{d}x = - 2 \ln{\left(2 \right)} + \ln{\left(3 \right)}
Donc :
\int_{1}^{2} \dfrac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = \left( - \dfrac{\ln{\left(3 \right)}}{2} + \ln{\left(2 \right)} \right) - \left( - 2 \ln{\left(2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \right)
Ainsi, \int_{1}^{2} \frac{\ln{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} \,\mathrm{d}x = - \frac{3 \ln{\left(3 \right)}}{2} + 3 \ln{\left(2 \right)} .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\pi} 2 x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x, on pose u(x)= 2 x et v'(x)= \cos{\left(3 x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} et on a u'(x)= 2 , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\pi} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\pi} 2 x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \dfrac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x
\int_{0}^{\pi} 2 x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \dfrac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \mathbb{R} de x \mapsto \dfrac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} est :
x\mapsto - \dfrac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\pi} \dfrac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x = \left[ - \dfrac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9} \right]_{0}^{\pi}
\int_{0}^{\pi} \dfrac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} \,\mathrm{d}x = \dfrac{4}{9}
Donc :
\int_{0}^{\pi} 2 x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = \left( 0 \right) - \left( \dfrac{4}{9} \right)
Ainsi, \int_{0}^{\pi} 2 x \cos{\left(3 x \right)} \,\mathrm{d}x = - \frac{4}{9} .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x) \,\mathrm{d}x ?
On note I = \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x) \,\mathrm{d}x .
Pour tout réel x, on pose u(x)= \sin(x) et v'(x)= \sin(x).
On peut alors choisir v(x)= - \cos(x) et on a u'(x)= \cos(x) , pour tout réel x.
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \mathbb{R}.
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\pi} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \,\mathrm{d}x = \left[ - \sin(x)\cos(x)\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} - \cos^2(x) \,\mathrm{d}x
Soit :
I = 0+\int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \,\mathrm{d}x.
Or, pour tout réel x, \cos^2(x)=1-\sin^2(x).
On en déduit par linéarité de l'intégrale :
I = \int_{0}^{\pi} 1-\sin^2(x) \,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi} 1 \,\mathrm{d}x-\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \,\mathrm{d}x
Soit :
I =\int_{0}^{\pi} 1 \,\mathrm{d}x-I
Ainsi :
2I =\int_{0}^{\pi} 1 \,\mathrm{d}x
I =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1 \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \matbb{R} de x \mapsto 1 est :
x\mapsto x
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\pi} 1 \,\mathrm{d}x=\left[x\right]_{0}^{\pi}=\pi-0=\pi
Donc :
\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}
Ainsi, \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}.
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x ?
Pour tout réel x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right], on pose u(x)= \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} et v'(x)= \sin{\left(x \right)} .
On peut alors choisir v(x)= - \cos{\left(x \right)} et on a u'(x)= - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} , pour tout réel x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right].
Les fonctions u et v ainsi définies sont telles que u' et v' sont continues sur \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right].
On peut donc utiliser la formule d'intégration par parties :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u(x)v'(x) \,\mathrm{d}x= \left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x
Ici, on obtient :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x
Or, une primitive sur \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right] de x \mapsto \sin{\left(x \right)} est :
x \mapsto - \cos{\left(x \right)}
Donc cette dernière intégrale se calcule facilement :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left[ - \cos{\left(x \right)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
Donc :
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = \left( - \frac{\sqrt{2} \ln{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} \right) - \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
Ainsi, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \,\mathrm{d}x = -1 - \frac{\sqrt{2} \ln{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} .